компьютерное моделирование / Диск-мод / Пример 2

Пример II

Итак, для определения правомерности перехода от непрерывной системы к дискретной можно записать для непрерывной системы Н(р), убедиться, что Re(p)0. Далее необходимо просто заменить р на z:

метод Эйлера вперед,

метод Эйлера назад,

метод трапеции,

метод парабол.

Мы сразу получим Н(z), после чего необходимо найти полюса и выбрать метод и шаг так, что бы все полюса  1.

Рассмотрим пример: необходимо записать алгоритм для численного решения дифференциального уравнения y’+y=x

Мы уже провели проверку для x≡1, y₀=0 и сравнение с аналитическим решением y=1-e^-t (при t y1).

устойчивые решения,

но при t>1 появляются колебания,

которых нет в аналитическом решении,

-грань устойчивости,

- система превращается в неустойчивую.

Проверим, что даст рассмотренная методика.

полюс система устойчивая.

Проверим метод Эйлера вперед:

Теперь найдем полюса .

z^*-1+t=0, z^*=1-t. (При z = z* = 1 - t системная функция)

Для устойчивости необходимо  1. Найдем ∆t, z^*= (тогда не надо будет умножать на –1). Окончательно получаем -1(t-1)<1 , 0t 2, так как t0, получаем t  2. Если шаг t 2 решение устойчиво, иначе система становится неустойчивой.

Проведем дополнительные исследования. Так как в непрерывной областиIm (p)=0, то система не совершает собственных колебаний. Чтобы колебаний не было и в дискретном решении необходимо, чтобы полюс был действительным и больше нуля,  0, t  1. При  1 результаты численного решения должны быть близки к решению непрерывной задачи.

Контрольный пример полностью соответствует сделанным выводам.

_{∆t = 0.5 yn+1=0.5+0.5 yn=0.5; 0.75…}

_{∆t = 1 yn+1=1, 1…}

_{∆t = 1.5 yn+1=1.5 - 1.5 yn=1.5; 0.75…}

_{∆t = 2 yn+1=2 - yn=2, 0, 2…}

_{∆t = 3 yn+1=3-4 yn=3, -3, 9, -9…}

_{т.е. получили то же самое.}

Но в методике сравнения системных функций непрерывного и дискретного процессов все выводы не зависят от проверочного примера так как для выводов мы это не использовали (стимул и начальные условия могут быть любыми).

В примере 1 были получены рекомендации сделать шаг t  (а еще лучше t<1), но это приведет к увеличению времени счета. Пусть по каким-то причинам мы не можем сделать t . Тогда методом «Эйлера-вперед» пользоваться нельзя, нужны другие методы.

Из остальных самый простой метод Эйлера-назад.

Используем предложенную методику: , .

Найдем полюс : ,  1 всегда.

Причем полюс действительный и больше нуля.

Вспомним контрольный пример. Уравнение Метод Эйлера - назад приводит к разностной схеме

_,

Пусть , .

При y₀=0,

_{Решение устойчиво и близко к аналитическому решению.}

16