9. Математические модели и численные методы

Любая модель, где реальный объект заменяется упрощающей математической схемой, можно считать математическим моделированием.

Сложнее с термином – численные методы. Мы живем в мире, где время и пространство непрерывно, континуально. Основные закономерности записываются функциями и дифференциальными уравнениями. Однако решить эти уравнения удается только в простых аналитических моделях. Для решения сложных задач используются численные методы. Вводиться пространственный или временной шаг, непрерывные функции заменяются последовательностями, а дифференциальные операторы разносными схемами. Существует раздел математики под названием вычислительная математика. Задача сводиться к получению рекуррентных формул, в которых используются простые операции сложения умножение, доступные для цифровой вычислительной техники.

При этом возникает масса трудностей. Разные численные методы дают разные результаты. При неправильном выборе метода и шаге численные методы могут стать неустойчивыми (хотя исходный объект является устойчивым). Поэтому требуется проверка модели на устойчивость, сходимость и адекватность исходной системы. Требуется доказать правомерность подмены континуального объекта дискретной численной моделью.

Численные модели не надо путать с «числовыми» моделями. Существуют системы, которые изначально описываются в дискретном времени и пространстве (банковские, экономические системы). Здесь не требуется переход от непрерывного времени к дискретному. Эти модели, так же как и численные оперируют с последовательностями (с числами) и рекуррентными формулами. Такие числовые модели более простые, не требуется дополнительной проверки и поэтому не включаются в понятие «численное моделирование».

Под понятие компьютерное моделирование попадают любые модели, где хоть немного используется вычислительная техника, например, даже те, где компьютеры используются только для визуализации результата.

Однако, часто под компьютерными моделями подразумевают численные модели, основанные на методах вычислительной математики. В них компьютер используется не только как вспомогательное средство, но и как необходимый инструмент для вычислений.

«Компьютерным экспериментом» или «машинным экспериментом» называют, как правило, использование компьютеров для сложных численных моделей, учитывающих большое число факторов. Тогда, чтобы не путать, обыкновенный эксперимент называют «натуральным или натурным экспериментом».

Еще есть аналитические модели. Они основаны на решении уравнений классическими методами высшей математики, результат в них получается в виде явных формул. Компьютер в них используется только как вспомогательный инструмент, например, расчет по полученным формулам.

Все это надо учитывать при выборе специальности для диссертации нашей кафедры: «Математические модели, численные методы и комплексы программ».

10. Пример, показывающий специфику численных моделей

Рассмотрим простой пример. Пусть требуется провести моделирование системы, которая описывается дифференциальным уравнением

Параметрx(t)- это воздействие на систему. Его считаем известным. Требуется определить реакцию системы y(t). Для решения задачи необходимо также знать начальное условие y0.

Пусть x(t)=1,y=0. Для этого случая мы можем получить аналитическое решение, чтобы сравнить его с численным решением.

y’+y=1, y0=0. Решение y=1-e^-t.

^У

1

^t

Такое поведение характерно для многих процессов. Например, заряд конденсатора, включенного к источнику постоянного напряжения, наполнение резервуара, соединенного с другим ранее наполненным резервуаром и т.д.

Теперь решим эту задачу численно,y’_n+y_n=1.

Воспользуемся простым методом Эйлера вперед:

Тогда yn+1=t+(1-t)yn. Зная y0=0 нетрудно получить все значения y.

Рассмотрим поведение системы с различными значениями шага t.

t=0.5, yn+1=0.5+0.5yn. yn=0;0.5;0.75  1 при n=0,1,2…Результаты численного моделирования оказываются близки к реальному процессу.

t=1, yn=1, yn=0,1,1…1 при n=0,1,2… Модель очень грубо описывает поведение системы в начальный период, но дает правильное значение в установившемся состоянии.

t=1.5, yn=1.5-0.5yn. yn=0,1,5,0,75…1 при n=0,1,2… Также получаем правильное значение y в установившемся состоянии, но в решении появляются колебания, которых нет в реальном процессе.

t=2, yn=2 –yn, yn=0,2,0,20…при n=0,1,2… Это граница устойчивости модели.

t=3, yn=3 -2yn, yn=0,3,-3,9… при n=0,1,2…

Модель оказывается неустойчивой, достаточно быстро наступает переполнение порядка. В то же время эти результаты не имеют никакого отношения к реальному процессу.

Вывод: необходимо уменьшить шаг моделирования (t<1).

Это приведет к увеличению машинного времени. Когда на каждом шаге решается большое число сложных дифференциальных уравнений увеличение времени счета может создать серьезную проблему.

Попробует сменить метод интегрирования.

Пусть yn’+yn=1.

Воспользуемся неявным методом (Эйлера-назад).

Увеличим для удобства сравнения методов нумерацию на единицу

Пустьt=3,

y0=0, yn=0,0.75,0.94 1 при n=0,1,2…

Система стала устойчивой при шаге t=3.

Теперь модель описывает процессы близко к реальной ситуации даже с достаточно грубым шагом.