2.7Законы логики высказываний
Алгебра логики обладает коммутативными и ассоциативными законами относительно операций конъюнкции и дизъюнкции и дистрибутивным законом конъюнкции относительно дизъюнкции, эти же законы имеют место и в алгебре чисел.
Поэтому над формулами алгебры логики можно производить те же преобразования, которые проводятся в алгебре чисел (раскрытие скобок, заключение в скобки, вынесение за скобки общего множителя).
Рассмотрим основные законы логики высказываний.
Коммутативность:
,
.
Ассоциативность:
,
.
3. Дистрибутивность:
,
.
Идемпотентность:
,
.Закон двойного отрицания:
.Закон исключения третьего:
.Закон противоречия:
.Законы де Моргана:
,
.
Законы идемпотентности (свойства операций с логическими константами)
В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых ”сомножителей” равносильна одному из них
,
,
,
.
Здесь
,
и
– любые буквы.
Примеры. формула
тавтология.
2.
тавтологией.
3.
тавтологией.
Теорема. Пусть формулы и
– тавтологии. Тогда формула
– тавтология.Теорема. Пусть формула – тавтология,
,
,
…,
– буквы в формуле
,
,
,
…,
– любые формулы. Тогда новая формула
– тавтология.
2.8 Формальные теории. Выводимость. Интерпретация
Определение Формальная теория считается заданной, если известны следующие четыре составляющих:
Алфавит – конечное или счетное множество символов.
Формулы, которые по специальным правилам строятся из символов алфавита.
Аксиомы
Правила вывода – множество отношений, позволяющие из аксиом получать теоремы формальной теории.
Определение Вывод формальной теории - последовательность формул
,
,
…,
,
в которой все формулы – либо аксиомы,
либо получаются из предыдущих по
правилам вывода.Определение Формула выводима из множества формул
(
├
),
если существует вывод
,
,
…,
,
где
,
и есть три возможности:
;
- аксиома;
получаются из предыдущих формул по
правилам вывода. Формулы из множества
называются посылками или гипотезами
вывода.Определение Интерпретацией множества формул называется область интерпретации
и заданное на ней соответствие, которое
каждой предикатной букве
ставит в соответствие
-местный
предикат на
,
каждой функциональной букве
–
-местную
функцию на
,
каждой предметной константе
– элемент множества
.
При интерпретации формулы превращаются в предикаты на множестве .
Если формула не имеет свободных переменных, то после интерпретации она превращается в высказывание.
Определение. Формула называется общезначимой, если она истинна в любой интерпретации.
Определение доказуемой (выводимой) формулы
Этапом в построении исчисления высказываний является выделение класса доказуемых (выводимых) формул.
Сначала определяются исходные доказуемые выводимые формулы (аксиомы), а затем определяются правила вывода, которые позволяют из имеющихся доказуемых формул получить новые доказуемые формулы.