2.4Логические операции

Основой цифровой техники служат три логические операции, лежащие в основе всех выводов компьютера. Это три логические операции: И, ИЛИ, НЕ, которые называют «тремя китами машинной логики».

К высказываниям можно применять известные из курса дискретной математики логические связки или логические операции. При этом получаются формулы. Формулы становятся высказываниями при подстановке всех значений букв.

Таблицы истинности основных логических операций.

0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0
1	1	0	1	1	1	1

Несколько переменных, связанных между собой с помощью логических операций, называют логической функцией.

Описание всякого исчисления включает в себя описание символов этого исчисления (алфавита), формул, являющихся конечными конфигурациями символов, и определение выводимых формул.

2.5 Алфавит исчисления высказываний

Алфавит исчисления высказывания состоит из символов трех категорий:

1. Символы первой категории: Эти символы будем называть переменными высказываниями.

2. Символы второй категории: ¬ они носят общее название логических связок.

Первый из них – знак дизъюнкции или логического сложения, второй – знак конъюнкции или логического умножения, третий – знак импликации или логического следования и четвертый – знак отрицания.

2. Третью категорию составляет пара символов ( ), называемая скобками.

Других символов исчисление высказываний не имеет

2.6 Формулы .Тавтология

Формулы исчисления высказываний представляют собой последовательности символов алфавита исчисления высказываний.

Для обозначения формул используются большие буквы латинского алфавита. Эти буквы не являются символами исчисления. Они представляют собой только условные обозначения формул.

• Определение Формула– правильно построенная составное высказывание:

1) Всякая буква есть формула.

2. Если , - формулы, то формулами являются также , , , , .

Очевидно, не являются формулами слова: ) (в третьем из этих слов содержится не закрытая скобка, а в четвертом – нет скобок).

Заметим, что здесь никак не конкретизируются понятия логических связок. Обычно в запись формул вводят некоторые упрощения. Например, в записи формул опускаются скобки по тем же правилам, что и в алгебре высказываний.

• Определение. Формула называется тавтологией, если она принимает только истинные значения при любых значениях букв.

• Определение Формула ложная при любых значениях букв называется противоречием

• Определение Формула называется выполнимой, если на некотором наборе распределения истинностных значений переменных она принимает значение И.

• Определение Формула называется опровержимой, если при некотором распределении истинностных значений переменных она принимает значение Л.

• Пример являются формулами согласно п.2 определения.

По этой же причине будут формулами слова:

Одновременно с понятием формулы вводится понятие подформулы или части формулы.

1. Подформулой элементарной формулы является она сама.

2. Если формула имеет вид , то ее подформулами являются: она сама, формула А и все подформулы формулы А.

3. Если формула имеет вид (А*В) (здесь и в дальнейшем под символом * будем понимать любой из трех символов ), то ее подформулами являются: она сама, формулы А и В и все подформулы формул А и В.

• Пример Для формулы ее подформулами будут:

- подформула нулевой глубины,

-подформулы первой глубины,

-подформулы второй глубины,

-подформулы третьей глубины,

-подформула четвертой глубины.

Таким образом, по мере “погружения вглубь структуры формулы” выделяем подформулы все большей глубины

Из курса дискретной математики известны основные логические эквивалентности (равносильности), которые являются примерами тавтологий. Все логические законы должны быть тавтологиями.

Иногда законы называются правилами вывода, которые определяют правильный вывод из посылок.