2.2 Логика высказываний

Прежде всего нужно определиться с понятиями, потому что один и тот же раздел часто называют по-разному: математическая логика, логика высказываний (предложений), символическая логика, двузначная логика, пропозициональная логика, булева алгебра...

• Определение Логика высказываний - раздел логики, в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из элементарных (далее не разлагаемых и не анализируемых) высказываний с помощью логических операций конъюнкции ("и"), дизъюнкции ("или"), отрицания ("не"), импликации ("если..., то...") и др.

• Определение Исчисление высказываний – это аксиоматическая логическая система, интерпретацией которой является алгебра высказываний.

Наибольший интерес представляет построение формальной системы, которая среди всех возможных высказываний выделяет такие, которые являются логическими законами (правильно построенными рассуждениями, логическими умозаключениями, тавтологиями, общезначимыми высказываниями).

Формальные теории, не пользуясь естественным (разговорным) языком, нуждаются в собственном формальном языке, на котором записываются встречающиеся в нем выражения.

• Определение Формальная система, порождающая высказывания, которые являются тавтологиями и только их, называются исчислением высказываний (ИВ).

Формальная система ИВ определяется:

Какие символы лучше использовать для обозначения логических связок?

Остановимся на следующих обозначениях: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность. Обычно логические значения результатов применения связок записываются в виде таблиц (т.н. таблицы истинности).

2.3Логические связки

В естественном языке роль связок при составлении сложных предложений из простых играют следующие грамматические средства:

союзы «и», «или», «не»;

слова «если …, то», «либо … либо»,

«тогда и только тогда, когда» и др.

В логике высказываний логические связки, используемые для составления сложных высказываний, обязаны быть определены точно.

Рассмотрим логические связки (операции) над высказываниями, при которых истинностные значения составных высказываний определяются только истинностными значениями составляющих высказываний, а не их смыслом.

Широко употребительных логических связок пять.

отрицание (изображается знаком ¬),

конъюнкция (знак ),

дизъюнкция (знак v),

импликация (знак )

эквивалентность (знак ).

• Определение Отрицание высказывания P - высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание P ложно.

• Определение Конъюнкция двух высказываний P и Q - высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.

• Определение Дизъюнкция двух высказываний P и Q - высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

• Определение Импликация двух высказываний P и Q - высказывание, ложное тогда и только тогда, когда P - истинно, а Q - ложно. Высказывание P называется посылкой импликации, а высказывание Q - заключением импликации.

• Определение Эквивалентность двух высказываний P и Q - высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинностные значения P и Q совпадают.

Употребление слов «если ...» «то ...» в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, где, как правило, считаем, что, если высказывание х ложно, то высказывание «Если х, то у» вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложение вида «если х, то у» в обыденной речи, всегда подразумеваем, что предложение у вытекает из предложения х. Употребление слов «если, то » в математической логике не требует этого, поскольку в ней смысл высказываний не рассматривается.