Глава 2 Математическая логика и ив

Своим существованием наука «алгебра логики» обязана английскому математику Джорджу Булю, который исследовал логику высказываний. Первый в России курс по алгебре логики был прочитан Б. Порецким в Казанском государственном университете.

Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384-322 г.г до н.э.). Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться формальной или Аристотелевой логикой.

Формальная логика просуществовала без серьёзных изменений более двадцати столетий. Естественно, что развитие математики выявило недостаточность Аристотелевой логики и потребовало дальнейшего её развития.

Впервые в истории идеи о построении логики на математической основе были высказаны немецким математиком Г. Лейбницем (1646-1716) в конце XVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по особым правилам. Это позволит всякое рассуждение заменить вычислением.

“Мы употребляем знаки не только для того, чтобы передать наши мысли другим лицам, но и для того, чтобы облегчить сам процесс нашего мышления” (Лейбниц).

Первая реализация идеи Лейбница принадлежит английскому учёному Д. Булю (1815-1864). Он создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания, и это привело к алгебре высказываний. Введение символических обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как и введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки – математической логики.

Применение математики к логике позволило представить логические теории в новой удобной форме и применить вычислительный аппарат к решению задач, малодоступных человеческому мышлению, и это, конечно, расширило область логических исследований.

Одной из основных причин развития математической логики является широкое распространение аксиоматического метода в построении различных математических теорий.

На практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и соответственно входит в языки программирования. Это является одним из важнейших практических приложений методов математической логики.

Перед изучением основ математической логики необходимо рассмотреть понятие логики в целом.

Logos (греч.) - слово, понятие, рассуждение, разум.

Слово ”логика” обозначает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления или обозначает науку о правилах рассуждения и тех формах, в которых оно осуществляется.

Логика изучает абстрактное мышление как средство познания объективного мира, исследует формы и законы, в которых происходит отражение мира в процессе мышления.

Рассмотрим вкратце историю развития логики.

2.1 Этапы развития логики

1-й этап связан с работами ученого и философа Аристотеля (384-322 гг. до н.э.). Он пытался найти ответ на вопрос ”как мы рассуждаем”, изучал ”правила мышления”.

Аристотель впервые дал систематическое изложение логики. Он подверг анализу человеческое мышление, его формы - понятие, суждение, умозаключение и рассмотрел мышление со стороны строения, структуры, то есть с формальной стороны. Так возникла формальная логика.

Формальная логика связана с анализом наших обычных содержательных умозаключений, выражаемых разговорным языком. Аристотель исследовал различные формы рассуждений и их комбинаций, ввел понятие силлогизма, т.е. рассуждения, в котором из заданных двух суждений выводится третье.

Теория правильных рассуждений, которая называлась силлогистикой и метод вывода правильных заключений из посылок – дедукция были сформированы более 2 тысяч лет тому назад, никем не опровергнуты и считаются присущими человеческому мышлению.

• Замечание Не путать с "дедуктивным методом" Шерлока Холмса. У Холмса, или скорее у Конан-Дойля, явно были проблемы с логикой, коль скоро он путал дедукцию с индукцией...

ДЕДУКТИВНЫЙ подход, называемый еще АКСИОМАТИЧЕСКИМ, это подход от общего к частному. От аксиом (постулатов) к теоремам (следствиям).

• Пример:

Все квадраты – ромбы → все ромбы - параллелограммы→Следовательно, все квадраты - параллелограммы.

В общем виде этот силлогизм имеет форму: ”Все а суть в, все в суть с. Следовательно, все а суть с.”

• Пример Силлогизм неправильной формы:

Все квадраты - ромбы. →Некоторые ромбы имеют острый угол. →Следовательно, некоторые квадраты имеют острый угол.

Значит, силлогизм, имеющий форму ”Все а суть в, некоторые в суть с. Значит, некоторые а суть с” может привести и к ложным выводам.

Аристотель выделил все правильные формы силлогизмов, которые можно составить из рассуждений вида:

- 1. "Все а суть в"

- 2. "Некоторые а суть в"

- 3. "Все а не суть в"

- 4. "Некоторые а не суть в"

• Определение Логика, основанная на теории силлогизмов называется классической.

Доказано, что общее число силлогизмов, которые можно составить из рассуждений указанного вида, равно 256, из них правильными являются лишь 24.

В конце XVI в. в алгебре словесная форма записи алгебраических выражений стала тормозить развитие науки и, чтобы облегчить выполнение алгебраических преобразований, была создана буквенная символика, позволяющая выполнять эти преобразования по строго определенным правилам.

2-й этап - появление математической или символической логики. Основы ее заложил немецкий ученый и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Он попытался построить первые логические исчисления, считал, что можно заменить простые рассуждения действиями со знаками и привел правила. Но Лейбниц высказал только идею, а развил ее окончательно англичанин Джордж Буль (1815-1864). Буль считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. В его работах логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику. Недаром начальный раздел математической логики называют алгеброй логики, или булевой алгеброй.

3-й этап связан с XX веком и попытками обосновать справедливость математических доказательств, с исследованиями теории чисел, а также с попыткой разрешить известные логические парадоксы.

Парадокс лжеца

Самым знаменитым следует считать парадокс лжеца, известный еще со времен глубокой древности.

По преданию, Эпименид утверждал, что все критяне лжецы. Верно ли это утверждение, если учесть, что сам Эпименид родом с острова Крит?

Другая простейшая форма этого парадокса:

«Некто говорит: ’’я лгу’’.

Если он при этом лжет, то сказанное им есть ложь, и , следовательно он не лжет.

Если же он не лжет, то сказанное им есть истина, и следовательно, он лжет.

В любом случае оказывается, что он «лжет и не лжет одновременно»

Парадокс Платона и Сократа

Платон: Следующее высказывание Сократа будет ложным. Сократ: То, что сказал Платон, истинно.

Парадокс Рассела брадобрея.

Владелец парикмахерской в одном селе повесил следующее объявление: "Брею тех и только тех жителей села, кто не бреется сам". Спрашивается, кто бреет брадобрея?

Развитие математической логики особенно активизировалось в XX нашего века в связи с развитием вычислительной техники и программирования.

• Определение Математическая логика - это современная форма логики, которая полностью опирается на формальные математические методы. Она изучает только умозаключения со строго определенными объектами и суждениями, для которых можно однозначно решить, истинны они или ложны.

Основным (неопределяемым) понятием математической логики является понятие «простого высказывания». Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным.

• Определение Высказывание - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно.

Высказывания могут быть истинными И или ложными Л.

• Пример: Земля - планета Солнечной системы. (Истинно); Каждый параллелограмм есть квадрат (Ложно)

Существуют высказывания, о которых нельзя говорить с уверенностью, истинны они или ложны. «Сегодня хорошая погода»( кому как)

• Пример Высказывание "Идет дождь" - простое, а истинное оно или ложное зависит от того, какая погода сейчас за окном. Если действительно льет дождь, то высказывание - истинное, а если солнечно, и бесполезно ждать дождя, то высказывание "Идет дождь" будет ложным.

• Пример “ ” – не высказывание (неизвестно, какие значения принимает ).

“Студент второго курса” не высказывание

• Определение Элементарные высказывания не могут быть выражены через другие высказывания.

• Определение Составные высказывания –высказывания, которые можно выразить с помощью элементарных высказываний.

• Пример “Число 22 четное” – элементарное высказывание.

Существуют два основных подхода к установлению истинности высказываний: эмпирический (опытный) и логический.

При эмпирическом подходе истинность высказывания устанавливается с помощью наблюдений, измерений, проведением экспериментов.

Логический подход заключается в том, что истинность высказывания устанавливается на основе истинности других высказываний, то есть без обращения к фактам, к их содержанию, то есть формально. Такой подход основан на выявлении и использовании логических связей между высказываниями, входящими в рассуждение.