1.8 Интеграл Фурье

роль интеграл Фурье играет в электротехнических задачах.

Пусть функция f(x) задана на всей числовой прямой, на промежутке удовлетворяет условиям Дирихле

• Теорема Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1) абсолютной интегрируемости, т.е. (т.е. интеграл сходится)

2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой

3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x),

тогда интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

,

где

, .

Или в виде

.

Эта формула впервые встречается при решении некоторых задач теплопроводности у Ж. Фурье (1811), но её доказательство было дано позже другими математиками.

Это можно рассматривать как предельную форму ряда Фурье для функций, имеющих период 2T.

При этом а (u) и b (u) аналогичны коэффициентам Фурье функции f (x).

1.9 Интеграл Фурье для четной и нечетной функции

Представление непериодической функции интегралом Фурье упрощается, если функция обладает симметрией.

Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.

Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так:

,

где a(u) определяется равенством

Рассуждая аналогично, получим интеграл Фурье для нечетной функции f(x)

,

• ЗамечаниеХарактерной чертой , отличающей интеграл Фурье от ряда Фурье, является то, что ряд Фурье это периодическая функция как сумма периодических составляющих, а интеграл Фурье – непериодическая функция.

1.10 Комплексная форма интеграла Фурье

Интеграл Фурье в комплексной форме

,

где

.

Если в формуле заменить c(u) его выражением, то получим:

,

где правая часть формулы называется двойным интегралом Фуpье в комплексной форме.

Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:

Формулу можно преобразовать также к виду

(простой интеграл Фурье).

• Пример: разложить в ряд Фурье в комплексной форме.

Решение

Функция периодическая с периодом .(f(x+T)=f(x))

Функция имеет на промежутке конечное число точек разрыва первого рода.

Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине , где -точки разрыва.

Запишем комплексную форму полученного ряда

,

но при не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+1 :

(т.к. см. разложение выше)

и случай когда n=-1:

(т.к. )

И вообще комплексная форма:

или

или

1.11 Преобразование Фурье

Преобразование Фурье, первоначально возникло в теории теплопроводности, имеет многочисленные применения как в самой математике (например, при решении дифференциальных, разностных и интегральных уравнений, в теории специальных функций и т.д.), так и в различных разделах теоретической физики. Например, преобразование Фурье стало стандартным аппаратом квантовой теории поля, широко используется в методе функций Грина для неравновесных задач квантовой механики и термодинамики, в теории рассеяния и т.д.

• Определение Преобразование Фурье - функция, выражающаяся через данную функцию f (x) формулой:

,     

Если функция f (x) чётная, то её преобразование Фурье равно

     

(косинус-преобразование),

а если f (x) — нечётная функция, то

     

(синус-преобразование).

Формулы (1), (2) и (3) обратимы, т. е. для чётных функций

,     

а для нечётных функций

.    

  В общем случае имеет место формула

.