1.4 Достаточные условия разложения функции в ряд Фурье

• Определение Функция называется кусочно-монотонной на отрезке [a,b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек x₁, x₂, ..., x_n-1 на интервалы (a,x₁), (x₁,x₂), ..., (x_n-1,b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т. е. либо не возрастает, либо не убывает.

• Замечание Из определения следует, что если функция кусочно-монотонная и ограничена на [a,b], то имеет разрывы только первого рода.

• Определение Функция называется кусочно-гладкой, если на каждом конечном интервале она и ее производная имеют не более конечного числа точек разрыва 1-го рода.

• Теорема (условие Дирихле достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье) :Если периодическая функция с периодом  удовлетворяет одному из условий:

1)	кусочно-гладкая, на отрезке ,
2)	кусочно-монотонная и ограничена,

то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках

и сходится к числу в каждой точке ее разрыва.

Сумма полученного ряда равна значению функции в точках непрерывности функции

_,

где  x₀ - точка разрыва функции. .

• Замечание В ряд Фурье можно разложить и непериодическую функцию, при этом полученный ряд будет сходиться к функции только в тех точках интервала, в которых функция непрерывна.

• Полученный ряд будет сходящимся на всей числовой прямой, а его сумма будет периодическим продолжением функции на всю ось, исключение лишь точки разрыва, в которых сумма ряда будет равна средне арифметическому правого и левого пределов периодического продолжения данной функции.

• Пример Разложить в ряд Фурье

Решение

Данная функция является кусочно-гладкой в интервале , а ее периодическое продолжение при дополнительном условии , удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле.

Вычислим коэффициенты Фурье, используя формулы (2):

;

^,

так как подынтегральная функция четная, а вычисляем с помощью интегрирования по частям, где U = x, dU = dx, =

;

^,

так как подынтегральная функция нечетная, а вычисляем с помощью интегрирования по частям, где

=

^.

Подставим найденные коэффициенты, тогда ряд Фурье для данной функции имеет вид:

.

Полученный ряд будет сходиться на всей числовой оси, но к функции только в точках .

Суммой ряда будет периодическое продолжение функции на всю ось Ox

в точках разрыва сумма ряда

,

где - точки разрыва функции .

Ответ: _.

Этот ряд содержит бесконечное число косинусных или синусных составляющих - гармоник, причем амплитуды этих составляющих являются коэффициентами Фурье.

Помимо упомянутой формы ряд Фурье можно представить в виде

 где амплитуда А_k и фаза гармоник определяются выражениями:

• Замечание  Гармоническим анализом называют разложение функции f(t), заданной на отрезке [0, Т] в ряд.

• Замечание Гармоническим синтезом называют получение колебаний сложной формы путем суммирования их гармонических составляющих (гармоник).