Численные методы поиска безусловного экстремума Графический анализ функции
Произвести графический анализ функции с отображением первой и второй ее производных. Реализация данной задачи в пакете MathCAD 14.Данную задачу мы решаем для следующей функции:
Графическое изображение функции f(x):
Найдем производную первого порядка для данной функции:
Графическое изображение производной первого порядка данной функции:
Найдем производную второго порядка для данной функции:
Графическое изображение производной второго порядка данной функции:
Изучив данные графики можно сделать вывод:
Функция
имеет локальный максимум в точке (-1,0).
Задача одномерного поиска
Для заданной функции решить задачу одномерного поиска
f(x)→min(max), x
X
(X
R)
и найти промежуток (X R), на котором функция унимодальная.
Пусть f(x) – действительная функция одной переменной, определенная на множестве X (, ).
Точка x* X называется точкой локального минимума f(x) на множестве X, если существует такая -окрестность этой точки, что для всех x из этой окрестности, т. е., если
| x x*| < , выполняется условие f(x*) f(x).
Если выполняется условие f(x*) < f(x), то x* называется точкой строгого локального минимума.
У функции может быть несколько локальных минимумов.
Точка x* X называется точкой глобального минимума f(x) на множестве X, если для всех x X выполняется условие
f(x*) f(x).
Значение функции f(x*) называется минимальным значением f(x) на множестве X.
Для нахождения глобального минимума необходимо найти все локальные минимумы и выбрать наименьшее значение.
В дальнейшем будем рассматривать задачу нахождения локального минимума.
Известно, что для того, чтобы точка x* была точкой локального минимума дифференцируемой функции f(x), необходимо, чтобы выполнялось равенство
f '(x*) = 0
Точка x*, удовлетворяющая данному равенству, называется стационарной точкой.
Если функция f(x) дважды дифференцируема, то для того, чтобы стационарная точка x* была точкой строгого локального минимума, достаточно, чтобы выполнялось неравенство
f ''(x*) > 0.
Если дважды дифференцируемая функция f(x) задана на отрезке [a, b], то можно предложить следующий путь решения задачи нахождения глобального минимума:
1. Найти все стационарные точки на отрезке [a, b] из условия (1.1), т.е. найти корни уравнения f '(x) = 0, принадлежащие отрезку [a, b].
2. Найденные стационарные точки исследовать на выполнение условия (1.2), т.е. из найденных стационарных точек выделить точки локальных минимумов, для которых выполняется неравенство f ''(x) > 0.
3. Сравнить между собой значения f(x) на концах отрезка [a, b] и в точках локальных минимумов. Наименьшему из этих значений соответствует точка глобального минимума f(x) на отрезке [a, b].
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b]. Функция f(x) называется унимодальной, если на этом отрезке имеется единственная точка x* локального минимума функции f(x), причем функция строго убывает при x x* и строго возрастает при x x*. Многие алгоритмы минимизации функции одной переменной построены в предположении, что функция унимодальная на некотором отрезке. Этот отрезок будем называть отрезком локализации точки x*.
Из определения унимодальной функции вытекает следующее важное свойство.
Пусть f(x) унимодальная функция на отрезке [a, b] и a x1 < x2 b. Тогда
если f(x1) f(x2), то x* [a, x2];
если f(x1) > f(x2), то x* [x1, b],
где x* – точка минимума f(x) на отрезке [a, b].
Иллюстрация данного свойства представлена на рис 1.1 и 1.2.
Рис. 1.1
Рис. 1.2.
Аналитический метод нахождения минимума функции одной переменной состоит в решении в явном виде уравнения и проверке условия. Однако во многих случаях это или невозможно, или затруднительно. В таких случаях используются численные методы решения.
Рассматрим методы прямого поиска, основанные на построении минимизирующих последовательностей x1, x2, …, xn, …,. Точки x1, x2, …, xn, называют пробными точками.
Для эвристического выбора начального интервала неопределенности можно применить Алгоритм Свенна.