5.2 Преобразование Фурье
Преобоазование Фурье - действие, с
помощью которого по заданной в интервале
функции
строится система чисел. По традиции,
именно эти числа также обозначают
словами «преобразование Фурье» данной
функции. При этом числа
называются косинус-преобразованием
Фурье функции
,
а числа
называются синус-преобразованием
Фурье функции
.
У преобразования Фурье функции есть
множество свойств и применений; в
частности,
известен ряд прикладных вопросов, в которых ту или иную информацию о функции удается получить только через ее преобразование Фурье, которое в таких ситуациях удается получить некоторыми косвенными средствами.
Рассмотрим следующий частный случай. Функция рассматривается не на интервале (-p,p), а на интервале (0,2π) и притом только в его отдельных точках
при некотором заранее заданном и
фиксированном числе
.
Значения функции
в этих точках считаются известными;
обозначим
.
В равенстве
=
положим
.
Получим
.
Проанализируем данное соотношение.
Если произвольное целое неотрицательное
число
разделить с остатком на число
,
то получится соотношение
,
где для целых
имеются лишь следующие возможности:
.
С учетом периодичности косинуса и синуса в выражении можно привести подобные члены, в результате чего получится:
,
где
,
Отметим, что теперь все суммы конечны. Известен следующий факт о тригонометрических суммах:
для всех чисел
имеют место равенства
Если обе части соотношения умножить на
и
затем просуммировать по
,
то, с учетом только что сказанного, легко
получить, что
;
а если обе части умножить на
и, с учетом того же утверждения о
суммировании косинусов и синусов,
получим соотношение
причем
.
Числа
,
называются дискретным преобразованием
Фурье функции
.
Если заменить
на произвольный
,
то оно из точного станет приближенным.
Его правую часть в этом случае называют
тригонометрической интерполяцией
функции
.
5.3 Быстрое преобразование Фурье
В предыдущем пункте было описано
дискретное преобразование Фурье -
сопоставление набору значений функции
набора коэффициентов
.
Процесс этого сопоставления в некоторых
случаях можно ускорить, специальным
образом организовав соответствующие
суммирования.
Предположим, что число
является
составным,т.е.
при натуральных
.
Разделим с остатком число
на
и число
(индекс суммирования) на
;
получим:
.
Заметим, что в образовавшихся обозначениях суммирование по эквивалентное повторному суммированию по схеме:
;
преобразуем теперь суммируемое выражение:
введем обозначения:
;
тогда выражение представляется в виде:
.
Совершенно аналогично можно провести
рассуждения с коэффициентом
,
в результате чего снова возникнут те
же
;
в итоге получится:
отсюда возникает соотношение:
Отсюда возникает иная возможность
вычисления дискретного преобразования
Фурье, отличная от прямого вычисления:
надо сначала найти выражения
,
а затем уже сами числа
;
потребуется, как нетрудно заметить,
меньше арифметических операций. Отсюда
и название - «Быстрое преобразование
Фурье»