4.8 Метод Ньютона
Метод Ньютона основан на использовании необходимых условий безусловного экстремума целевой функции
представляет собой систему алгебраических уравнений, для решения которой можно применить известный численный метод, называемый методом Ньютона. Корень системы есть стационарная точка, т.е. возможное решение экстремальной задачи.
Метод Ньютона является итерационным, он основан на линеаризации в окрестности текущей точки поиска
— это система линейных алгебраических
уравнений. Ее корень есть очередное
приближение
к
решению
Если процесс сходится, то решение достигается за малое число итераций, окончанием которых служит выполнение условия
Главный недостаток метода — высокая трудоемкость вычисления и обращения матрицы , к тому же ее вычисление численным дифференцированием сопровождается заметными погрешностями, что снижает скорость сходимости.
В методе переменной
метрики вместо трудно вычисляемой
обратной матрицы Гессе используют
некоторую более легко вычисляемую
матрицу
,
т.е.
Введем обозначения:
—
единичная матрица.
Начальное значение матрицы
.
Матрицу корректируют на каждом шаге, т.е.
где
Поэтому
Можно показать, что
стремится
к
,
—
к
при
,
где
—
размерность пространства управляемых
параметров.
Спустя
шагов,
нужно снова начинать с
.
Глава 5 Преобразование Фурье
5.1 Аппрокисмация функции по Фурье
Пусть функция
задана в интервале
.
В этом случае (при наличии у нее
соответствующих свойств интегрируемости)
можно построить ряд Фурье этой
функции, а именно объект
,
где
.
Известно, что для непрерывной функции этот ряд сходится в каждой точке интервала и притом - к значению в этой точке функции . Если суммирование в ряду Фурье прервать на каком-то слагаемом, то возникнет приближенное равенство
,
которое тем точнее, чем больше число слагаемых в сумме. В этом и состоит аппроксимация функции по Фурье.
Практически организация расчетов при
аппроксимации происходит так: задается
та степень точности e,
с которой надо приблизить число
с помощью частичных сумм ряда (7.1.1); затем
вычисляют, постепенно наращивая
количество слагаемых, частичные суммы
ряда (7.1.1) и делают это до тех пор, пока
два раза подряд не получится при
суммировании одно и то же с точностью
e
число; его и принимают за нужное
приближение. Естественно, что при
вычислении частичных сумм ряда требуются
коэффициенты
,
которые вычисляются с помощью численного
интегрирования через определяющие
равенства.
Описанная ситуация обобщается на случай
функции
,
заданной не на интервале
,
а на произвольном интервале
.
В этом случае (для непрерывной функции
)
имеет место равенство
внутри интервала ,
где
Принято выделять случаи четной и нечетной функции, так как при этом вычисление коэффициентов существенно упрощается, а именно:
если на интервале
функция
четная, то для всех
имеют место равенства
и
;
если на интервале
функция
нечетная, то для всех
имеют место равенства
и
.
Это обстоятельство подсказывает выход
из положения, при котором функция
задана не на интервале
,
а только на интервале
:
функцию можно продолжить на весь интервал
четным или нечетным образом, а затем
произвести разложение Фурье.
Конструкция Фурье может рассматриваться
и на любом интервале
благодаря периодичности функций
,
так что равенство можно рассматривать
на всей числовой прямой, кроме, возможно,
точек
.