1.1 Задача о звучащей струне
К изучению тригонометрических рядов привела поставленная в 18 веке задача о звучащей струне.
Дана функция
,
можно ли найти тригонометрический ряд,
который сходится и имеет своей суммой
функцию
.
На
необходимо наложить ограничения, чтобы
можно было искать сходящийся к ней
тригонометрический ряд.
Аналогичная задача была для степенных рядов, если она разрешима, то таким рядом является ряд Тейлора.
1.2 Ортогональные системы функций
Систематическое
изучение ортогональных систем функций
было начато в связи с методом Фурье
решения краевых задач уравнений
математической физики. Одна из основных
задач теории ортогональных систем
функций — задача о разложении функции
f (x)
в ряд вида
,
где
ортогональная система функций.
Определение Функции и
называются ортогональными
на
,
если выполняется:
Пример
,
- функции ортогональны на
,
т.к.
Пример
на
ортогональна к любой, определенной на
функции.
Определение Бесконечная система функций
называется ортогональная
на
,
если
Пример Бесконечная система функций
на
образует
ортогональную на
систему функций
.
Пример
-тригонометрическая
система функций
образует ортогональную на
систему функций.
,
,
.
Определение Пусть задана произвольная ортогональная на система функций
.
Ряд
,
где
- произвольные числовые коэффициенты,
называется рядом
по ортогональной системе функций.
Определение Ряд по тригонометрической системе функций
называется тригонометрическим рядом.
Замечание Если - сумма тригонометрического ряда, сходящегося в каждой точке, то она периодическая, так как ,
-
периодические функции с периодом
,то
в равенстве
ничего не изменится, следовательно
периодическая.Замечание Если задана на отрезке
,
но не
,
то сдвигом начала координат можно
свести к изученному случаю.Замечание Если периодическая функция с периодом
,не
,
то ее разлагают в тригонометрический
ряд
Теорема Если сходится числовой ряд
,
то тригонометрический ряд
сходится
абсолютно и равномерно на всей оси
.
Доказательство
Следовательно,
ряд - мажорирует данный тригонометрический ряд, по признаку Вейерштрасса сходится равномерно.
Абсолютная сходимость очевидна.
1.3 Ряд Фурье по тригонометрической системе функций
Жан Батист Жозеф Фурье 1768 – 1830 – французский математик.
Для вычисления коэффициентов ряда Фурье вычислим интегралы
Если
,
,
Если
,
,
Теорема Если для всех имеет место равенство
и тригонометрический ряд сходится равномерно на всей оси, то коэффициенты этого ряда определяются
,
,
Доказательство
Ряд сходится
равномерно на всей числовой оси, его
членами являются непрерывные функции,
то его сумма тоже непрерывна и возможно
почленное интегрирование ряда в пределах
Каждый
интеграл равен нулю, т.к. тригонометрическая
система функций ортогональна на
,
а
,
то
Для
доказательства
умножим обе части на
Это
не нарушит равномерной сходимости ряда.
В силу равномерной сходимости ряда
а это и означает сходимость равномерную ряда .
Интегрируя на , имеем
В силу ортогональности тригонометрической системы функций на
,
,
а из
отличен интеграл при
,
Итак
,
что и т.д.
Запомним, что
Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул.
Формула для
доказывается
аналогично.
Замечание Теорема остается справедливой на любом отрезке
,
при этом пределы интегрирования
заменяются соответственно на
и
.
Определение Тригонометрический ряд
,
коэффициенты которого определяются по формулам
, ,
,
называется рядом Фурье для функции , а коэффициенты называются коэффициенты Фурье.
Если ряд Фурье функции f(x) сходится во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.
Замечание Не всякий тригонометрический ряд является рядом Фурье, даже, если он сходится на всей числовой прямой.
Сумма неравномерно сходящегося ряда может быть разрывной и не интегрируемой, поэтому определение коэффициентов Фурье невозможно.
Замечание Ряд Фурье является частным случаем функциональных рядов.