3.4 Проблемы применения метода линейной регрессии

1. Если истинная взаимосвязь не линейная, нельзя использовать для прогноза прямую линию. Большинство компьютерных программ не предупреждают об этом.

2. Экстраполяция за пределы имеющихся данных потенциально опасна. Вы не располагаете информацией, чтобы отбросить другие возможности.

3.Резко отклоняющееся значение может серьезно повлиять на результаты регрессионного анализа.

4. Большое значение имеет то, какая из двух переменных прогнозируется, а какая служит основанием для прогноза. Каждому из этих подходов соответствует своя линия регрессии. Две линии регрессии сближаются, когда уменьшается фактор случайности точки данных приближаются к прямой линии.

3.5 Предпосылки статистической модели лр

1.Зависимая переменная есть величина случайная, а объясняющая переменная - величина неслучайная.

2. Математическое ожидание возмущения , дисперсия . Возмущения являются нормально распределенными. Для заданного значения генеральная совокупность значений имеет нормальное распределение относительно регрессионной прямой совокупности.

На практике приемлемые результаты получаются и тогда, когда значения имеют нормальное распределение лишь приблизительно.

3. Разброс генеральной совокупности данных относительно регрессионной прямой совокупности остается постоянным всюду вдоль этой прямой (дисперсия зависимой переменной остается постоянной: ).

4 Возмущения , а, следовательно? и значения независимы между собой.

Уравнение взаимосвязи двух переменных (парная регрессивная модель) может быть представлена

где - случайная переменная, характеризующая отклонение от функции регрессии. - называют возмущением.

Рассмотрим линейный регрессивный анализ, для которого функция линейна

Если для оценки параметров линейной функции взята выборка, то парная линейная регрессионная модель имеет вид

3.6 Задачи регрессионного анализа

Цель регрессионного анализа состоит в определении общего вида уравнения регрессии, построении статистических оценок неизвестных параметров, входящих в уравнение регрессии и проверке статистических гипотез о регрессии.

Корреляционный анализ позволяет устанавливать неслучайность (значимость) изменения наблюдений и степень их зависимости от случайных величин .

Регрессионный анализ представляет собой следующий этап статистического анализа.

Определяются точные количественные характеристики изменения . Статистическая связь и сводится к строгим (неслучайным) соотношениям.

На данном этапе решаются следующие основные задачи:

• выбор общего вида функции регрессии

• отбор, если необходимо, наиболее информативных факторов;

оценивание параметров уравнения регрессии

• анализ точности полученного уравнения регрессии, связанный с построением доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, т.е. компонент вектора , для условного среднего отклика и для прогнозов наблюдений отклика при значениях факторов .

1. Возмущения есть случайная величина, а объясняющая переменная – неслучайная величина.

2. Математическое ожидание возмущения равно нулю

3. Дисперсия возмущения постоянна для любого :

4. Возмущения не коррелированны (независимы) ; _.

5. Возмущения есть нормально распределенная случайная величина.

Для получения уравнений регрессий достаточно 1-4 условий, 5 условие для оценки точности уравнений регрессии и его параметров

Пусть требуется исследовать зависимость , величины и измеряются в одном эксперименте.

Восстановим по результатам измерений. Точное представление невозможно. Будем искать приближенную зависимость по методу наименьших квадратов. ,

- называется наилучшим приближением, если принимает наименьшее значение.

Рассмотрим функцию которая наилучшим образом приближает к .

Введем обозначения , , , - корреляционный момент, k- коэффициент корреляции этих величин.

Будем искать

Найти такие и , что принимает наименьшее значение:

Исследуем на экстремум

=

=

Коэффициент - коэффициент регрессии. Прямая – прямая регрессии.

Воздействие неучтенных факторов и ошибок наблюдений в модели определяется с помощью остаточной дисперсии.

Минимум равен – остаточная дисперсия, которая характеризует величину ошибки, допускаемой при использовании приближенного равенства .

• Пример Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии: а) на , б) на , если известны: выборочные средние , , выборочные дисперсии , , выборочный коэффициент корреляции .

Решение

а) Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид

,

где , .

Поскольку , ,

получаем уравнение

,

или

.

б) Согласно выборочному уравнению прямой линии регрессии на :

.

Поэтому получаем

,

или