2.14 Связь между алгеброй и исчислением высказываний

Формулы исчисления высказываний можно интерпретировать как формулы алгебры высказываний. Для этого будем трактовать переменные исчисления высказываний как переменные алгебры высказываний, т. е. переменные в содержательном смысле, принимающие два значения: истина и ложь (1 и 0).

Операции определим так же, как в алгебре высказываний.

При этом всякая формула исчисления высказываний при любых входящих в нее переменных будет принимать одно из значений 1 или 0, вычисляемое по правилам алгебры высказываний.

Введем понятие значения формулы исчисления высказываний. Пусть А- формула исчисления высказываний, х₁,х₂,…,х_n- попарно различные переменные, среди которых находятся все переменные, входящие в формулу А. Обозначим через а₁, а₂,…,а_n набор значений этих переменных, состоящих из 1 и 0, длины n. Очевидно, что вектор (а₁, а₂,…,а_n) имеет 2ⁿ значений.

Имеют место три теоремы, которые устанавливают связь между основными фактами алгебры высказываний и исчисления высказываний.

• Теорема 1. Каждая формула, доказуемая в исчислении высказываний, является тождественно истинной в алгебре высказываний.

Формулировка этой теоремы содержит в себе три положения:

1)Каждая аксиома исчисления высказываний – тождественно истинная формула в алгебре высказываний.

2)Правило подстановки, примененное к тождественно истинным формулам, приводит к тождественно истинным формулам.

3)Правило заключения, примененное к тождественно истинным формулам, приводит к тождественно истинным формулам.

• Теорема 2.( о выводимости) Пусть А –некоторая формула исчисления высказываний; х₁,х₂,…,х_{n –} набор переменных, содержащих все переменные, входящие в формулу А; а₁, а₂,…,а_n – произвольный фиксированный набор значений этих переменных. Обозначим через Н конечную совокупность формул

, где

Тогда:

1. Если R_a1,a2,..,an(A)=1, то H├A .

2. Если R_a1,a2,..,an(A)=0, то H├ , где R_a1,a2,..,an(A)–значение формулы А на наборе а₁, а₂,…,а_n.

• Теорема 3 Каждая тождественно истинная формула алгебры высказываний доказуема в исчислении высказываний.

Правила подстановки и замены

Логическая эквивалентность и логическое следствие

• Определение. Формулы и называются логически эквивалентными тогда и только тогда, когда формула – тавтология.

• Теорема. Отношение лог.эквивалентности- отношение эквивалентности (Рефлексивно,симметрично,транзитивно)

Справедливы правило подстановки и правило замены.

Пусть и – формулы, содержащие букву , и – формулы, полученные из формул и соответственно подстановкой вместо буквы формулы .

Правило подстановки. Если формула логически эквивалентна формуле , то формула логически эквивалентна формуле .

Пусть – формула, в которой выделена некоторая подформула , – формула, полученная из формулы заменой на некоторую формулу .

Правило замены. Если формулы и логически эквивалентны, то логически эквивалентны и формулы и .

Доказательства правил подстановки и замены основано на сравнении таблиц истинности соответствующих формул.

• Пример.

Док-ем:По правилу подстановки, эквивалентна формуле .

По правилу замены, эквивалентна формуле .Следовательно, по свойству транзитивности, формулы и логически эквивалентны.

• Определение. Говорят, что формула логически влечет формулу , если формула является тавтологией.

• Теорема. Отношение логического следствия - отношение предпорядка, то есть рефлексивно и транзитивно.