2.13 Построение вывода в логике высказываний

• Пример

Докажем, что выводима формула ├ .

Док-во

По теореме, обратной теореме дедукции, посылку можно перенести в левую часть:

├ .

Проделаем эту операцию еще раз:

, ├ .

1. – гипотеза.

2. – гипотеза.

Формулу удобно получить из аксиомы А3.

Поэтому запишем эту аксиому:

К формулам 1 и 3 применим правило вывода Modus ponens

4. . МР 1, 3.

Посылку в формуле 4 можно получить из аксиомы А1, если заменить на :

5. . А1 с подстановкой вместо – .

Далее дважды применяем правило Modus ponens:

6. . МР 2, 5.

7. . МР 6, 4.

Вывод построен, и применением теоремы дедукции мы доказали выводимость первоначальной формулы.

Отметим, что вывод может быть неединственным, в частности, формулы могут быть записаны в другом порядке.

Доказательство некоторых законов логики

Правила выводимости, и особенно теорема дедукции, позволяют доказать ряд законов логики.

1. Закон перестановки посылок.

├(x→(y→z)) →(y→(x→z)). (1)

Доказательство:

Можно показать, что из совокупности формул Н={x→(y→ z ), y, x} следует вывод x→(y→ z), y, x, y→ z, z, т. е. из совокупности Н выводима формула z.

Тогда по обобщенной теореме дедукции доказуема формула (1). И тогда по ПЗ из закона перестановки посылок вытекает правило перестановки посылок в доказуемых формулах: ├(x→(y→ z))

├(y→(x→ z)). (2)

Действительно, если ├x→(y→ z), (2), то из (1) и (2) по правилу заключения следует ├y→(x→z).

2. Закон соединения посылок

├(x→(y→ z)) →( →z). (3)

Доказательство:

Можно показать, что из совокупности формул Н={x→(y→ z ), } следует вывод x→(y→ z), , → х, → y, x, y, y→ z, z, т. е. из совокупности Н выводима формула z. Тогда по обобщенной теореме дедукции доказуема формула (3).

Из закона соединения посылок вытекает правило соединения посылок в доказуемых формулах: ├(x→(y→z))

├ →z. (4)

Действительно, если ├x→(y→z), (4), то из (3) и (4) по правилу заключения следует ├ →z.

3. Закон разъединения посылок .

├( →z) →(x→(y→z)). (5)

Так как из совокупности формул Н={x, y, →z} следует вывод x, y, →z, , z, то из совокупности формул Н выводима формула z. Тогда по обобщенной теореме дедукции доказуема формула (5).

И з закона разъединения посылок вытекает правило разъединения посылок в доказуемых формулах: ├ → z

├х→(y→z). (6)

Действительно, если ├ →z)), (6), то из (5) и (6) по правилу заключения следует

├х→(y→z).

4. ├х→( ). (7)

Доказательство:

Сделаем подстановки в аксиомы и : и .

В результате получим доказуемые формулы:

├х→( ), (8) и ├ . (9)

Из формул (8)и (9)по правилу силлогизма следует : ├ .

Используя закон соединения посылок, получим: ├ .

Используя правило снятия двойного отрицания, получим : ├ .

И, наконец, применяя закон разъединения посылок, получим (7).

5. Закон исключенного третьего: ├ .

Доказательство:

Воспользуемся доказуемой формулой ├ (10)

и, сделав в ней подстановку , получим :

├ . (11)

Также сделаем подстановку в формуле (7), заменяя на , а y на :

├ ( ). (12)

Используя закон соединения посылок, будем иметь : ├ . (13)

Из формул (11) и (13) по правилу силлогизма получаем ├ . (14)

Из формулы (14) по правилу контрапозиции следует├ .

Используя оба правила снятия двойного отрицания, получаем ├ (15)

Пусть теперь y- любая доказуемая формула R, тогда из формул ├R, ├R по правилу заключения получаем ├ .

6.├ . Примем этот закон без доказательства.