2.12 Производные правила вывода
Производные правила вывода, как и рассмотренные правила подстановки и заключения, позволяют получать новые доказуемые формулы. Они получаются с помощью правил подстановки и заключения, а поэтому являются производными от них.
Правило сложной (одновременной) подстановки (СПП).
Пусть А – доказуемая формула;
-
переменные, а
-
любые формулы ИВ. Тогда результат
одновременной подстановки в формулу А
вместо
соответственно формул
является доказуемой формулой.
Схематично операция СПП записывается так:
├А______
├
Так, в рассмотренном выше примере вместо шагов 4-5-6 и 9-10-11 можно было сразу применить СПП и тогда вместо 12 получим желаемый результат за 8 ходов:
1)
. . . .(
) (1)
2)
. . . (2)
3)
. . .(
)
(3)
4)
. . .
(4)
5)
(2),(4), ПЗ (5)
6)
. . . (
)
(6)
7)
(7)
8)
. . . (5), (7), ПЗ (8)
Правило сложного заключения.
Правило сложного заключения также допускает обобщение.
Второе производное правило, получаемое в результате такого обобщения, применяется к формулам вида
и формулируется так :
Если формулы
и
доказуемы, то и формула L доказуема.
Правило сложного заключения схематично записывается так:
├А1, ├А2, …,├Аn, ├A1→(A2→(A3→(...(An→L) …)))
├ L
Следующие правила знакомы по тождественно истинным формулам алгебры логики, носящим те же наименования.
Правило силлогизма.
Если доказуемы формулы А→В и В→С, то доказуема формула А→С , т. е.
├А→В,├В→С
├А→С
Правило контр позиции.
Если доказуема формула А→В, то доказуема
формула
,
т. е.
├ А →В
├
На примере этого правила покажем, как
доказываются такие утверждения в
исчислении высказываний. Сделаем
одновременную подстановку
,
получим доказуемую формулу ├(А→В)→├(
).
(1)
Но по условию доказуема формула ├А→В. (2)
Из формул (2) и (1) по правилу заключения имеем ├ .
Правило снятия двойного отрицания.
а) Если доказуема формула
,
то доказуема формула
.
б) Если доказуема формула
,
то доказуема формула
.
Схематичная запись : ├ А →
и ├
→В
├ ├ .
Понятие выводимости формул из совокупности формул
Будем рассматривать конечную совокупность формул Н={А1,А2,…,Аn}.
Определение формулы, выводимой из совокупности Н.
1)Всякая формула Аi
,является
формулой, выводимой из Н.
2) Всякая доказуемая формула выводима из Н.
3) Если формулы С и С→В выводимы из совокупности Н, то формула В также выводима из Н.
Если некоторая формула В выводима из совокупности Н, то это записывают так: Н├В.
Нетрудно видеть, что класс формул, выводимых из совокупности Н, совпадает с классом доказуемых формул в случае, когда совокупность Н содержит только доказуемые формулы, и в случае, когда Н пуста. Если же совокупность формул Н содержит хотя бы одну не доказуемую формулу, то класс формул, выводимых из Н, шире класса доказуемых формул.
Пример. Доказать, что из совокупности формул Н={А ,В} выводима формула
.
Так как А и В , то по определению выводимой формулы
Н├А, (1)
Н├В. (2)
Возьмем аксиомы
и
,
и выполним подстановки
и
.
В результате получим доказуемые формулы, которые выводимы из Н по определению выводимой формулы, т. е.
Н├(А→А)→((А→В)→(А
)),
(3)
Н├В→(А→В), (4)
Так как формула А→А доказуема, то Н├А→А. (5)
Из формул (5) и (3) по правилу заключения получаем: Н├(А→В)→(А )). (6)
Из формулы (2) и (4) по правилу заключения получаем: Н├А→В. (7)
Из формул (7) и (6) по правилу заключения получаем: Н├А . (8)
И, наконец, из формул (1) и (8) получаем:
Н├ (9)
При доказательстве выводимости формулы из совокупности формул можно пользоваться не только основным правилом заключения, но и правилом сложного заключения.
Тогда, пользуясь этим правилом, предложение (9) можно получить из предложений (5), (7), (1) и (3).
Понятие вывода
ОпределениеВыводом из конечной совокупности формул Н называется всякая конечная последовательность формул В1,В2,…,Вк, всякий член которой удовлетворяет одному из следующих трех условий:
он является одной из формул совокупности Н,
2) он является доказуемой формулой,
3) он получается по правилу заключения из двух любых предшествующих членов последовательности В1,В2,…,Вк.
Как было показано в предыдущем примере, выводом из совокупности формул Н={А,В} является конечная последовательность формул:
А, В, (А→А)→((А→В)→(А )), (А→В), А→А, (А→В)→(А )), А→В, А , . (см. формулы 1,2,3,7,5,6,8).
Если же здесь воспользоваться правилом сложного заключения , то вывод можно записать так:
А, В, (А→А)→((А→В)→(А )), В→(А→В), А→А, А→В, . (см. формулы 5, 7, 1, 3).
Из определения выводимой формулы и вывода из совокупности формул следуют очевидные свойства вывода:
Свойства вывода
1)Всякий начальный отрезок вывода из совокупности Н есть вывод из Н.
2)Если между двумя соседними членами вывода из Н (или в начале или в конце его) вставить некоторый вывод из Н, то полученная новая последовательность формул будет также выводом из Н.
3)Всякий член вывода из совокупности Н является формулой, выводимой из Н.
Всякий вывод из Н является выводом его последней формулы.
4)Если
(включено),
то всякий вывод из Н является выводом
из W.
5)Для того, чтобы формула В была выводима из совокупности Н, необходимо и достаточно, чтобы существовал вывод этой формулы из Н.
Правила выводимости
Эти правила непосредственно следуют из свойств вывода с использованием ПП и ПЗ.
Пусть Н и W – две совокупности
формул исчисления высказываний. Будем
обозначать через Н, W их
объединение, т. е. Н,W=
.
В частности, если совокупность W
состоит из одной формулы С, то будем
записывать объединение
в виде Н,С.
Основные правила выводимости:
1. H ├ A Это правило следует непосредственно из определения вывода
2. H,C ├ A,H├C
3. H,C ├ A, W├C
4. H ├ C→A
H├C→A
В частности, если
,
то если C├ A
C→A
5A. Обобщенная теорема дедукции: {C1, C1, …, Ck}├ A
├C1 →(C2→(C3→…(Ck→A)…))
Теорема. (обратная теорема дедукции.)
H├
H,
├
.
6. Правило введения конъюнкции: H├A,H├B
H├
7. Правило введения дизъюнкции: H,A├C;Н,B├C .
H,
├C