Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ»

Кафедра высшей математики

О.В.Старожилова специальные главы математики

Самара,

2017

УДК 512.6, 514.1

Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ,

протокол № 45 , от 10.03.2017 г.

Старожилова, О.В.

С Специальные главы математики: учебное пособие //Старожилова О.В.. – Самара: ПГУТИ, 2017. –221 с.

Учебное пособие затрагивает специальные разделы математики: математическая логика и теории автоматов, алгебра высказываний, исчисление высказываний, элементы теории алгоритмов, регрессионный анализ, методы оптимизации.

Для студентов и магистров университета, обучающихся по направлению 09.03.02 «Информационные системы и технологии», желающих изучать специальные главы математики самостоятельно.

Каждый раздел заканчивается контрольными вопросами, которые помогут проверить теоретическое освоение курса, содержит большое количество задач для самостоятельного решения и ответы для проверки.

Пособие содержит лабораторный комплекс и ряд инженерных задач с акцентом на программную реализацию методов вычислительной математики.

Старожилова О.В., 2017

Оглавление

1.5 Разложение в ряд Фурье непериодической функции 16

1.6 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 17

1.8 Интеграл Фурье 26

5.1 Аппрокисмация функции по Фурье 114

5.2 Преобразование Фурье 116

5.3 Быстрое преобразование Фурье 119

Гармонический и спектральный анализ 123

Варианты индивидуальных заданий темы ЛВ 132

Лабораторная работа № 1 140

Вычисление коэффициентов уравнения ЛР 140

Лабораторная работа № 2 143

Вычисление выборочного коэффициента корреляции 143

Лабораторная работа № 3 144

Вычисление оценок дисперсий парной ЛР 144

Лабораторная работа №4 146

Функции Excel для коэффициентов парной ЛР 146

Лабораторная работа № 5 148

Построение интервальной оценки для функции парной ЛР 148

Лабораторная работа № 6 150

Проверка значимости уравнения ЛР по критерию Фишера 150

Тема 3 Нелинейная парная регрессия 152

Лабораторная работа № 7 152

Построение нелинейной регрессии с использованием 152

Команды «Добавить линию тренда» 152

Лабораторная работа № 8 157

Выбор наилучшей нелинейной регрессии 157

Тема 4. Линейная множественная регрессия 160

Лабораторная работа № 9 161

Вычисление коэффициентов ЛМР 161

Лабораторная работа № 10 165

Проверка значимости в режиме Регрессия 165

Тема 5. Нелинейная множественная регрессия 175

Лабораторная работа № 11 175

Вычисление для функция Кобба-Дугласа 175

Контрольная работа № 1 179

Парная регрессия 179

Множественная линейная регрессия 181

Глава 1 Гармонический анализ

Определение Гармонический анализ- раздел математики, связанный с разложением колебаний на гармонические колебания.

При изучении периодических (т. е. повторяющихся во времени) явлений рассматриваются периодические функции.

Например, гармоническое колебание описывается периодической функцией времени t:

• Определение Периодическая функция - функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции.

Так как сумма и разность двух периодов есть снова период и, следовательно, любое кратное периода есть также период, то каждая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов.

Если периодическая функция имеет действительный период, непрерывна и отлична от постоянной, то для неё существует наименьший положительный период Т; всякий другой действительный период той же функции будет иметь вид kT, где k = ±1, ± 2,....

Сумма, произведение и частное периодических функций с одним и тем же периодом являются периодическая функция с тем же периодом.

Периодические функции играют чрезвычайно большую роль в теории колебаний и вообще в математической физике. В курсе математического анализа знакомились с понятием функционального ряда , работали с его важным частным случаем - степенным рядом . Рассмотрим другой очень важный (в том числе и для физических приложений) частный случай функциональных рядов -- тригонометрический ряд.

• Определение Функциональный ряд – ряд вида

,

где - функции, зависящие от одной переменной или от нескольких переменных.

При каждом фиксированном значении функциональный ряд превращается в числовой ряд

который может сходиться, а может и расходится.

• Определение Точка сходимости функционального ряда - точка , в которой функциональный ряд сходится.

• Определение Множество всех точек сходимости называется областью сходимости ряда.

Можно ли данную функцию представить в виде тригонометрического ряда, т.е. можно ли найти коэффициенты a_n и b_n такие, что для всех имеет место равенство

Сумма ряда очевидно, -периодическая функция. Значит, разлагать в тригонометрический ряд можно только периодические функции f.

Кроме того ясно, что если две периодические функции совпадают на промежутке, длина которого равна периоду, то они совпадают всюду. Поэтому достаточно проверить на некотором промежутке длины , например, .