Задача 1

Нехай експерт визначає товщину виробу, за допомогою поняття "мала товщина", "середня товщина" і "велика товщина", при цьому мінімальна товщина дорівнює К мм, а максимальна - N мм.

Провести формалізацію такого опису за допомогою лінгвістичної змінної.

Графічно представити нечіткі множини "мала товщина", "середня товщина" і "велика товщина".

Записати функцію приналежності для нечіткої множини "мала чи середня товщина" = А₁˅А_2, та представити її графічно.

Вихідні дані вибирають з таблиці 2.

Таблиця 2.

Одиниці у шифрі Параметр	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
К, мм	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
N, мм	80	82	84	86	88	90	92	94	96	98

Пояснення до задачі 1

Лінгвістичною змінною називається набір < ,T,X,G,M>, де

•  - найменування лінгвістичної змінної;

• Т - множина її значень (терм-множина), що представляють собою імена нечітких змінних, областю визначення, кожної з яких є множина X. Множина T називається базовою терм-множиною лінгвістичної змінної;

• G - синтаксична процедура, що дозволяє оперувати елементами терм-множини T, зокрема, генерувати нові терми (значення). Множина TG(T), де G(T) - множина згенерованих термів, називається розширеною терм-множиною лінгвістичної змінної;

• М - семантична процедура, що дозволяє перетворити кожне нове значення лінгвістичної змінної, утвореною процедурою G, у нечітку змінну, тобто сформувати відповідну нечітку множину.

Щоб уникнути великої кількості символів:

- символ  використовують як для назви самої змінної, так і для всіх її значень;

- для позначення нечіткої множини і її назви користуються одним символом , наприклад, терм "молодий", що є значенням лінгвістичної змінної  = "вік", одночасно є і нечіткою множиною М ("молодий").

Для випадку задачі 1 лінгвістична змінна зображується п’ятіркою значень <β, T, X, G, M>, де:

• β - товщина виробу;

• T –терм-множина її значень {"мала товщина", "середня товщина", "велика товщина"};

• X - [ К, N]; - область визначення лінгвістичної змінної;

• G - процедура утворення нових термів за допомогою зв'язувань "і", "або" і модифікаторів типу "дуже", "не", "злегка" і ін. Наприклад, "мала або середня товщина", "дуже мала товщина" і ін.;

М - процедура завдання на X = [К, N] нечітких підмножин А₁="мала товщина", А₂ = "середня товщина", А₃="велика товщина", а також нечітких множин для термів з G(T) відповідно до правил трансляції нечітких зв'язувань і модифікаторів "і", "або", "не", "дуже", "злегка" і ін. операції над нечіткими множинами виду: А ˅ C, А ˄ C, , CON А = А² , DIL А = А^0,5 і ін.

Задача 2

В магазині продаються телевізори типу «Рекорд»: один в дерев'яному корпусі під червоне дерево (екран 57 см), другий в чорному пластмасовому корпусі (69 см), третій у сірому пластмасовому корпусі (49 см). Провести пошук одного телевізора в красивому корпусі і з великим екраном. При цьому якості «красивий» і «великий екран» рівнозначні. Також вважатимемо можливим допустимість нестрогого підходу з компенсуючим оператором λ та оператором γ, значення яких вибирається з таблиці 3.

Таблиця 3.

Одиниці у шифрі Параметр	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
λ	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,85	0,65	0,1	0,25
γ	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2	0,85	0,75

Пояснення до задачі 2

Дослідження в області нечіткої математики тривають, і найближчим часом можна очікувати нових успіхів, а поки той або інший оператор вибирається на основі порівняння результатів його застосування, тобто в залежності від того, чи дає використання того або іншого оператора задовільне рішення задачі. Крім того, вибір оператора залежить від наявних у розпорядженні обчислювальних потужностей, специфіки проблем і інтуїції, досвіду розробника. Вибір того чи іншого оператора повинен виправдовуватися досягненням мети.

Розглянемо застосування операторів в логічних операціях.

Кон'юнкція - І. Для цієї операції існує декілька операторів, з яких найважливішими є наступні:

1. мінімум-оператор _{A B} x  min_A x; _B x;

2. оператор «добуток» _{A B} x  _A x_B x

Кожен з цих операторів має свою специфіку, своє «поле діяльності». Частіше за інші використовується мінімум-оператор.

Нехай ступені приналежності нечітких множин А і В відповідають

 _A x  0,75; _B x  0,85. Запишемо рішення для операторів 1 і 2: відповідно _A B x  min0,75; 0,85 0,75 .

Для оператора 2: _AB x _A x  0,75_B x  0,85 0,75 0,85  0,6375

Як видно з прикладу, результати застосування операторів 1 і 2 відрізняються на 11%. Тому при виборі того або іншого оператора необхідно враховувати специфіку завдання.

Легко також перевірити, що для чіткої логіки (наприклад, при _A x _B x 1 результати будуть відповідати таблиці істинності, тобто будуть однакові для всіх операторів.

Для операції І, як і для перетину множин, в багатьох випадках застосовуються мінімум-оператори, тому ці два відношення множин найчастіше збігаються.

Диз'юнкція - АБО. Для цієї операції також встановлено декілька операторів. Перерахуємо найважливіші:

1. максимум-оператор _A B x  max_A x; _B x;

2. _{A B} x  _A x _B x _A x_B x;

3. _{A B} x  min1;_A x _B x.

В цьому випадку - для операції АБО - також кожен з операторів слід використовувати в певних ситуаціях, і вибір даного оператора для подібних задач повинен бути підтверджений досвідом. Для операції АБО, як і для об'єднання множин, в багатьох випадках використовують максимум-оператор, тому ці два відношення множин найчастіше збігаються.

Для телевізора в дерев'яному корпусі якість «красивий» виконано повністю, але якість «великий екран» тільки частково. Запишемо функції приналежності для пропонованих телевізорів і визначимо кон'юнкцію множин «красивий» і «великий екран» за допомогою min-оператора (табл. 4).

Таблиця 4.

Телевізор в корпусі	красивий	великий екран	красивий і великий екран
дерев'яному	1	0,6	0,6
пластмасовому:
чорному	0,4	0,6	0,4
сірому	0	0,2	0,2

Таким чином, більше за інших підходить до множини «красивих» і з «великим екраном» телевізор в дерев'яному корпусі. Відзначимо, що вислів більше інших підходить - це буденний вислів людей - нечіткі множини і нечітка логіка ближче до повсякденного, а не до математичного мислення.

У класичній логіці для нашої задачі множина «красивих великоекранних» телевізорів була б порожньою множиною, так як обидві якості «красивий» і «великий екран» одночасно не виконуються. Математична строгість не відповідає таким, наприклад, міркування: «Так, звичайно, екран 57 см - це не надто великий екран, але красивий корпус так прикрасить кімнату, що можна погодитися на цей телевізор». Нечітка логіка дозволяє врахувати ці людські оцінки і, що дуже важливо, надати їм формалізовану математичну форму, що необхідно в складних багатокомпонентних завданнях.

Нульовий результат для телевізора в сірому корпусі ще раз підтверджує, що класична логіка міститься в нечіткій логіці як її розділ (цей телевізор абсолютно не належить шуканій множині).

В повсякденних роздумах людина найчастіше використовує не суворі операції І, АБО, але деякі інші, які мають проміжні властивості і знаходяться між цими двома операціями. Існують такі компенсуючі, «пом'якшувальні» судження «так» (1) і «ні» (0), а отже, пом'якшуючі результати операції оператори γ і λ.

Операція компенсації з оператором λ:

_AB x _A x_B x 1_A x _B x _A x_B x, при  0,1.

Для   0 отримуємо операцію АБО:

_AB x|_{ 0}  _A x _B x _A x_B x  _{A B} x;

для   1 операцію І:

_AB x|_1 _Ax_B x  _AB x;

Операція компенсації з оператором γ:

_AB x  _A x_B x^1 1 1 _A x1 _B x^ , при  0,1,

При   0 отримуємо операцію І

_AB x|_{ 0}  _A x_B x  _{A B} x;

при  1 - Операцію АБО

_AB x|_{ 0} 11 _A x1 _B x _A x _B x _A x_B x  _AB x

Позначимо для стислості запису множину «красивий» - А, множину «великий екран» - В, змінну «телевізор» - х.

Тоді для телевізорів в дерев'яному, чорному і сірому корпусі при компенсуючому операторі λ=80% відповідно:

• _AB x 0,810,610,810,610,6 0,68;

• _AB x 0,80,40,610,80,40,60,40,6 0,52;

• _AB x 0,800,210,800,200,2 0,04.

Порівняємо результати обчислень без компенсуючої, «згладжуючої» вимоги покупця оператора λ і з цим оператором: в першому випадку відношення для телевізорів з дерев'яним і чорним корпусом 0,6/0,4 = 1,5, у другому 0,68/0,5 = 1,36; аналогічно для телевізорів з дерев’яним і сірим корпусом 0,6/0= і 0,6/0,04=15.

Значення відношень зблизилися. Якщо з телевізором з сірим корпусом, який в 15 разів менше «підходить» покупцеві, все ясно, то між двома іншими телевізорами відмінність невелика, хоча закономірність та ж сама.

Задача 3

Скласти базу знань (таблицю нечітких правил) для випадку керування мобільним роботом, задачею якого є об'їзд перешкод. При цьому використати дві лінгвістичні змінні: ДИСТАНЦІЯ (відстань від робота до перешкоди) і НАПРЯМОК (кут між подовжньою віссю робота та напрямком на перешкоду).

Для лінгвістичної змінної ДИСТАНЦІЯ визначити базові терми ДАЛЕКО, СЕРЕДНЕ, БЛИЗЬКО і ДУЖЕ БЛИЗЬКО, для яких X - [К, N], та наочно представити їх у графічному вигляді.

Вихідні дані до задачі 3вибирають з табл.5.

Таблиця 5.

Одиниці у шифрі Параметр		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Далеко	К, м	1	2	3	4	5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5
	N, м	10	20	30	40	50	15	25	35	45	55
Середня	К, м	0,75	1,75	2,75	3,75	4,75	1	2	3	4	5
	N, м	3	5	6	7,5	8,5	4	5	6	7	8
Близько	К, м	0,4	0,5	1	1,5	1,8	0,3	0,5	1	1,5	1,9
	N, м	0,85	1,85	2,85	3,85	4,85	1,1	2,1	3,1	4,1	5,1
Дуже близько	К, м	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0
	N, м	0,5	0,6	1,1	1,6	1,9	0,4	0,65	1,15	1,6	2

Пояснення до задачі 3

Найбільш важливим застосуванням теорії нечітких множин є контролери нечіткої логіки. Їх функціонування дещо відрізняється від роботи звичайних контролерів; для опису системи замість диференційних рівнянь використовуються знання експертів. Ці знання можуть бути виражені за допомогою лінгвістичних змінних, які описані нечіткими множинами.

Загальна структура мікроконтролера, що використовує нечітку логіку, показана на рис.1. Вона містить у своєму складі наступні складові:

• блок фазифікації;

• базу знань;

• блок рішень;

• блок дефазифікації.

Блок фазифікації перетворює чіткі величини, виміряні на виході об'єкта керування, у нечіткі величини, що описані лінгвістичними змінними в базі знань.

Блок рішень використовує нечіткі умовні (if - then) правила, закладені в базі знань, для перетворення нечітких вхідних даних у необхідні керуючі впливи, що носять також нечіткий характер.

Блок дефазіфікації перетворює нечіткі дані з виходу блоку рішень у чітку величину, що використовується для керування об'єктом.

Рис. 1. Загальна структура нечіткого мікроконтролера.

Як приклад відомих мікроконтролерів, що підтримують нечітку логіку можна назвати 68HC11, 68HC12 фірми Motorola, MCS-96 фірми Intel, а також деякі інші.

Всі системи з нечіткою логікою функціонують за одним принципом: покази вимірювальних приладів: фазифікуються (перетворюються в нечіткий формат), обробляються, дефазифікуються й у вигляді звичайних сигналів подаються на виконавчі пристрої.

Для фізичної реалізації лінгвістичної змінної необхідно визначити точні фізичні значення термів цієї змінної. Нехай змінна ДИСТАНЦІЯ може приймати будь-які значення з діапазону від нуля до нескінченності. Значеннями її можна визначити терми ДАЛЕКО, СЕРЕДНЕ, БЛИЗЬКО і ДУЖЕ БЛИЗЬКО. Відповідно до теорії нечітких множин, у такому випадку кожному значенню відстані з зазначеного діапазону може бути поставлене у відповідність деяке число від нуля до одиниці, що визначає ступінь приналежності даної фізичної відстані (припустимо 40 см) до того чи іншого терму лінгвістичної змінної ДИСТАНЦІЯ. Ступінь приналежності визначаємо функцією приналежності М(d), де d-відстань до перешкоди. У нашому випадку відстані 40 см. можна задати ступінь приналежності до терму ДУЖЕ БЛИЗЬКО рівним 0,7, а до терму БЛИЗЬКО - 0,3 (рис. 2). Конкретне визначення ступеня приналежності може проходити тільки при роботі з експертами.

Рис. 2. Наочне представлення нечіткої множини ДИСТАНЦІЯ у вигляді графіка зміни функії приналежності.

Змінній НАПРЯМОК, яка може приймати значення в діапазоні від 0 до 360 градусів, задамо терми ЛІВИЙ, ПРЯМИЙ і ПРАВИЙ.

Тепер необхідно задати вихідні змінні. У даному прикладі достатньо однієї, яка назвемо РУЛЬОВИЙ КУТ. Вона може містити терми: РІЗКО ВЛІВО, ВЛІВО, ПРЯМО, ВПРАВО, РІЗКО ВПРАВО. Зв'язок між входом та виходом запам'ятовується в таблиці нечітких правил:

Кожний запис у даній таблиці відповідає своєму нечіткому правилу, наприклад: Якщо дистанція БЛИЗЬКО і напрямок ПРАВИЙ, тоді рульовий кут РІЗКО ВЛІВО.

Таким чином, мобільний робот з нечіткою логікою буде працювати за наступним принципом: дані з сенсорів про відстань до перешкоди та напрямок до неї будуть фазифіковані, оброблені згідно табличних правил, дефазифіковані і дані, що отримані, у вигляді керуючих сигналів надходять на приводи робота.

Література.

1. Субботін С.О. Подання й обробка знань у системах штучного інтелекту та підтримки прийняття рішень. Навчальний посібник. - Запоріжжя: ЗНТУ, 2008. - 341 с.

2. Дубровін В.І., Субботін С.О. Методи оптимізації та їх застосування в задачах навчання нейронних мереж: Навчальний посібник.-Запоріжжя: ЗНТУ, 2003.- 136 с.

3. Васильев В.И., Ильясов Б.Г. Интеллектуальные системы управления. Теория и практика: учебное пособие. - М.: Радиотехника, 2009. - 392 с.

4. Спицын В.Г., Цой Ю.Р. Интеллектуальные системы: Учебное пособие Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2012. – 176 с.

5. Соловьев В.А., Черный С.П. Искусственный интеллект в задачах управления. Интеллектуальные системы управления технологическими процесами Учебное пособие. - Владивосток: Дальнаука, 2010. - 267 с.

6. Безрук, В. М. Нейронні технології в телекомунікаціях і системах управ­ління.: навч. посібник / В. М. Безрук, І. В. Свид, І. В. Корсун. — X. : Компанія СМІТ, 2008. — 230 с.

7. “Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления”. Под ред. Н.Д. Егупова, из цикла учебников и учебных пособий “Методы теории автоматического управления” под ред. К.А. Пупкова. М.: МГТУ им. Баумана, 2001, 744 с.

8. Дьяконов В.П., Круглов В.В. Математические пакеты расширения Matlab. Специальный справочник. СПб. Издательство: Питер. 2001. 488с.

9. Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде Matlab и FuzzyTech.- СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 736 с.

10. Пупков К.А., Коньков В.Г. Интеллектуальные системы (Исследование и создание) Учебное пособие. - Издание первое. - Москва, 2001. - 194 с.

11. Вороновский Г. К. Генетические алгоритмы, искусственные нейронные сети и проблемы виртуальной реальности / Г. К. Вороновский, К. В. Махотило, С. Н. Петрашев, С. А. Сергеев. – Харьков: Основа, 1997. – 112 с.

12. Рутковская Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы / Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский. – М.: Горячая линия – Телеком, 2004. – 452 с.

13. A. B. Badiru and J. Y. Cheung. Fuzzy Engineering Expert Systems with Neural Network Applications / John Wiley, New York, NY, 2002.

14. Медведев В.С., Потемкин В.Г. Нейронные сети. MATLAB 6. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2001. - 630 с. - (Пакеты прикладных программ; Кн. 4).

22