2.2. Непрерывность функции, точки разрыва и их классификация

Для рассмотренной ранее функции пределы слева и справа в точке не совпадают, и в таком случае говорят, что функция имеет при разрыв.

Точка называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы.

Если хотя бы один из односторонних пределов в точке равен или , или не существует, то в данной точке функция терпит разрыв второго рода.

Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если при x  a существуют и равны между собой односторонние пределы, но в точке функция либо не определена, либо имеет значение , отличное от значений односторонних пределов в этой точке.

Функция называется непрерывной в точке , если функция имеет в точке одинаковые односторонние пределы, которые равны значению функции в точке .

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что она непрерывна на этом (открытом) промежутке.

Функция называется непрерывной на закрытом промежутке , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого промежутка и, кроме того, имеет предел справа в точке a и предел слева в точке b.

Свойства функций, имеющих предел, понятие о неопределенностях

Вычислить предел функции, изучая поведение последовательности значений аргумента и функции, довольно легко для основных функций, таких, как в их области определения. Вычисления показывают, что в области определения предельное значение функции равно ее значению при предельном значении аргумента:

.

В тех случаях, когда функция имеет сложный вид, т.е. составлена из нескольких других основных функций при помощи конечного числа алгебраических операций, вычисление значений функции может быть весьма утомительным и установление ее предела непосредственно затруднительным. При нахождении предела таких функций пользуются свойствами пределов функций. Сформулируем их без доказательства.

1) Предел постоянной равен самой постоянной.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

3) Пусть функции имеют в точке конечные пределы, соответственно равные . Тогда функции

имеют в точке пределы, соответственно равные

В тех случаях, когда либо , либо , либо оба вместе равны , или в частном , применение указанных правил не дает возможности найти предел составной функции. Рассмотрим пример. Пусть

.

Возьмем теперь

.

Рассмотрим и такой вид функций:

,

.

Предел разности двух стремящихся к функций, значение которого зависит от конкретного вида функций, называется неопределенностью вида .

Предел частного двух функций, стремящихся к нулю, значение которого зависит от конкретного вида функций, называется неопределенностью вида .

Аналогично определяются и другие неопределенности:

.

Способы раскрытия неопределенностей

При нахождении пределов функций вначале необходимо вместо независимой переменной подставить ее предельное значение. Если при этом получается конечное значение функции, то оно и будет ее пределом. Если при подстановке выясняется, что возникает неопределенность, то нужно от нее избавиться – раскрыть неопределенность. Для этого раскрытия используются, в первую очередь, два подхода. Первый: преобразование функций, стоящих под знаком предела, с помощью алгебраических и тригонометрических формул. Второй: выделение в рассматриваемой функции некоторых эталонных пределов, называемых замечательными. При раскрытии неопределенностей после каждого преобразования функции в нее подставляют предельное значение переменной, чтобы проверить, осталась ли неопределенность. Действия продолжают до тех пор, пока неопределенность не будет устранена.

Неопределенность вида , заданная отношением двух многочленов

Такая неопределенность раскрывается делением числителя и знаменателя дроби на максимальную степень числителя или знаменателя.

Пример .

Можно предложить и более простой способ нахождения предела в случае неопределённости вида : величина предела не изменится, если в числителе и знаменателе оставить наибольшие по модулю слагаемые.

Пример.

.

Неопределенность вида , заданная отношением двух многочленов

Эта неопределенность раскрывается разложением многочленов на множители и сокращением общих множителей в числителе и знаменателе.

Пример .

Неопределенность вида , заданная отношением иррациональных выражений

Для раскрытия этой неопределенности применяется домножение (и деление) иррационального выражения на сопряженное ему.

Пример 1.

Пример 2.

Неопределенность вида , включающая в себя тригонометрические функции

Для раскрытия таких неопределенностей применяют первый замечательный предел:

.

При использовании замечательных пределов имеют в виду следующее обстоятельство: значение предела зависит от вида функции и того, к какому пределу стремится переменная, но не зависит от обозначения переменной.

Пример 1. .

Пример 2. ;

(при преобразованиях использовано обозначение ).

Пример 3. ;

(при преобразованиях использовано обозначение ).

Пример 4. .

Пример 5. .