Решение систем по формулам Крамера
Для квадратной неоднородной системы с любым числом уравнений неизвестную величину с номером можно найти по формуле:
где – главный определитель системы;
– вспомогательный определитель,
полученный из главного заменой
коэффициентов при неизвестном
на столбец свободных членов.
Анализ полученной формулы и применение ее на практике для решения систем позволяет сделать следующие выводы:
1) если главный определитель системы
,
то система имеет единственное решение;
2) если
,
а хотя бы один из вспомогательных
определителей
,
то система не имеет решения;
3) если и главный и все вспомогательные определители равны 0, то система или не имеет решения, или имеет бесконечное множество решений.
Формулы Крамера являются особенно удобными, когда коэффициенты системы не являются целыми числами.
Пример. Систему линейных уравнений
решить по формулам Крамера.
Вычислим необходимые определители:
Тогда
.
Примечание: формула и пример вычисления определителя второго порядка приведены на стр. 13.
2.1.3. Комплексные числа и действия с ними
Под комплексным числом в алгебраической
форме записи понимается выражение
где
и
– действительные числа, а
–
мнимая единица, для которой справедлива
формула
Числа вида
отождествляются с действительными
числами, числа вида
называются чисто мнимыми. Сопряженным
числом
к числу
называется комплексное число
Два комплексных числа
и
равны, если
и
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел определяются следующим образом.
1)
2)
3)
Примечание. Формулу умножения двух
комплексных чисел не обязательно
запоминать, так как она получается, если
формально перемножить двучлены
и
по обычному правилу умножения двучленов
и затем заменить
на –1.
Примеры.
1. Найти сумму и произведение комплексных
чисел
и
Находим сумму:
Умножим:
2. Найти частное комплексных чисел
и
Для нахождения частного умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю:
можно изобразить точкой на плоскости
имеющей координаты
На оси
изображаются действительные числа,
поэтому она называется действительной
осью; на оси
расположены чисто мнимые числа; она
называется мнимой осью.
Можно также сопоставить числу
вектор, направленный из начала координат
в точку
Длина этого вектора
,
т.е. расстояние от начала координат до
точки
называется модулем комплексного
числа
и обозначается
Из рисунка находим
Следовательно:
Такая форма записи комплексного числа
называется тригонометрической.
Угол
,
образованный радиус-вектором
с положительным направлением действительной
оси
называется аргументом комплексного
числа
и обозначается
.
В инженерных приложениях угол
также называется фазой. Величина угла
определяется с точностью до слагаемого
Главным называется значение
,
удовлетворяющее условию:
.
Главное значение можно вычислить по следующим формулам:
Пусть
– любое действительное число. Символом
обозначается комплексное число
С помощью этого обозначения всякое
комплексное число
может быть записано в показательной
форме (формула Эйлера):
Пример. Представить в тригонометрической
и показательной форме комплексное число
Находим модуль
Аргумент находим по формуле:
.
Следовательно
