6.4. Табличный способ расчета временных параметров сетевых графиков

При табличном способе расчёт выполняется в квадратной таблице, количество строк и столбцов которой соответствует количеству событий. Алгоритм расчета его временных параметров следующий.

Шаг 1. Строим таблицу из 7 строк и 7 столбцов. Выделяем в ней жирным контуром клетки, находящиеся на главной диагонали (главные). Отмечаем «побочные» клетки, находящиеся на пересечении тех строк и столбцов таблицы, которые соответствуют номерам связанных друг с другом событий, как это показано в таблице:

	1	2	3	4	5	6	7
1		1-2	1-3
2	1-2		2-3		2-5
3	1-3	2-3		3-4
4			3-4			4-6
5		2-5				5-6
6				4-6	5-6		6-7
7						6-7

Шаг 2. В числителе отмеченных клеток выше главной диагонали записываем расчетные продолжительности соответствующих работ. В числитель клетки главной диагонали первой строки заносим «0».

	1	2	3	4	5	6	7
1	0/	12/	4/
2	1-2		0/		3/
3	1-3	2-3		14/
4			3-4			8/
5		2-5				5/
6				4-6	5-6		3/
7						6-7

Шаг 3. В знаменатели клеток выше главной диагонали заносим сумму числителя клетки главной диагонали в этой строке и числителя текущей клетки t_ро(i-j) – раннее окончание работы (i-j), а в числители клеток главной диагонали записываем максимальное значение из знаменателей клеток, находящихся в данном столбце выше главной диагонали t_р(j) – ранний срок наступления события j;

Клетка (работа) (1-2): 0 + t(1–2) = 0 + 12 = 12;

Клетка (работа) (1-3): 0 + t(1–3] = 0 + 4 =4.

Клетка (работа) (2-3): 12 + t(2–3] = 12 + 0 =12.

Клетка (работа) (2-5): 12 + t(2–5] = 12 + 3 =15.

Клетка (работа) (3-4): 12 + t(3–4] = 12 + 14 =26

Клетка (работа) (4-6): 26 + t(4–6] = 13 + 4 =17

Клетка (работа) (5-6): 9 + t(5–6] = 9 + 5 =14

Клетка (работа) (6-7): 17 + t(6–7] = 17 + 3 =20

	1	2	3	4	5	6	7
1	0/0	12/12	4/4
2	1-2	12/	0/12		3/15
3	1-3	2-3	12/	14/26
4			3-4	26/		8/34
5		2-5			15/	5/20
6				4-6	5-6	34/	3/37
7						6-7	37/

Шаг 4. Для определения поздних сроков начала работ t_пн(i-j) необходимо произвести вычисления знаменателей для «побочных» клеток, находящихся ниже главной диагонали.

В числителе отмеченных клеток ниже главной диагонали записываем продолжительности соответствующих работ:

	1	2	3	4	5	6	7
1	0/0	12/12	4/4
2	12/0	12/12	0/12		3/15
3	4/8	0/12	12/12	14/26
4			14/12	26/26		8/34
5		3/26			15/29	5/20
6				8/26	5/29	34/34	3/37
7						3/34	37/37

Расчеты проводим в обратном порядке, начиная с последней «главной» клетки. Из числа, записанного в этой клетке (продолжительность критического пути), вычитаем числители в «побочных» клетках нижней строки и результат записываем в знаменателе. Наименьший из знаменателей данного столбца переносим в знаменатель «главной» клетки. Из него опять вычитаем числители в «побочных» клетках соответствующей строки и получаем знаменатели, наименьший из которых переносим в «главную клетку, и т. д.

Для событий, лежащих на критическом пути, числители и знаменатели «главных» клеток совпадают, а для первой «главной» клетки (клетка нулевого события) должен получиться нуль.

На этом вычисления заканчиваются.

Кроме критического пути, из таблицы непосредственно получают следующие показатели сетевого графика:

а) самый ранний срок свершения событий (числители в «главных» клетках);

б) самый поздний срок свершения событий (знаменатели в «главных» клетках);

в) резервы времени для событий (разность между знаменателем и числителем в каждой «главной» клетке). Для событий, находящихся на критическом пути, как известно, резервы времени равны нулю. Это значит, что в клетках, соответствующих критическим событиям, числители и знаменатели должны быть равны;

г) самый ранний срок окончания работ (знаменатели в «побочных» клетках выше главной диагонали);

д) самый поздний срок начала работ (знаменатели в «побочных» клетках ниже главной диагонали);

е) полные резервы времени для работ (разность между знаменателем «главной» клетки и знаменателем «побочной» клетки выше главной диагонали, находящейся в том же столбце).

Таким образом, почти все важнейшие показатели сетевого графика непосредственно получаются из таблицы.

Сравнение результатов поученных аналитическим способом (табл.2) и табличным (табл. шаг.4) показывает полное совпадение результатов.

До настоящего времени мы рассматривали сетевой график не в масштабе времени. Более нагляден сетевой график в масштабе времени представленный на рис.9.

Рис.9. Сетевой график в масштабе времени

Анализ и оптимизация сетевого графика

Для анализа сетевого графика может быть использован коэффициент напряженности полного пути К_н=L/L_к, где L – длина любого полного некритического пути; L_к - длина критического пути.

Расчет коэффициентов напряженности позволяет проанализировать топологию сети в отношении выравнивания коэффициентов напряженности. Чем выше коэффициент напряженности, тем ближе данный путь к критическому и наоборот и чем меньше коэффициент напряженности, тем большими резервами обладает данный путь

Наибо­лее простой и распространенный критерий оптимальности сетевого графика, фор­мализуемый следующим образом:

, (4)

– коэффициент напряжённости наикратчайшего пути;

1. – длина наикратчайшего пути.

Из критерия (4) следует, что некоторый рассматриваемый сетевой график принимается оптимальным, если отношение длительности его наикратчайшего пути к длительности его критического пути не менее 0.7, или, что тоже самое, если длительность наикратчайшего пути отличается от длительности критиче­ского пути не более чем на 30%.

Резерв пути R(L) = L_к – L показывает, насколько в сумме может быть увеличена продолжительность всех работ, принадлежащих данному пути, без существенного изменения общего срока выполнения

Довольно часто случается, что сетевой график (его параметры) не соответствуют имеющимся ограничениям по либо по времени либо по ресурсам. Поэтому оптимизация может проводиться по следующим параметрам:

• по времени;

• по ресурсам (материальным, трудовым, финансовым);

• по времени и стоимости.

Существует несколько методов оптимизации по времени:

• сокращение продолжительности критических работ;

• расчленение критических работ и их запараллеливание;

• изменение топологии сети за счет изменения технологии работ.

Сокращение продолжительности критического пути может быть достигнуто за счет перераспределения ресурсов с некритических работ на критические.

Определение количества работников, которое можно перевести с работ имеющих резервы времени на работы критического пути возможно двумя основными способами:

• Подбор оптимального количества работников на критической и некритической работе путем последовательного пересчета параметров сетевого графика для нескольких возможных вариантов.

• Использование специальных уравнений, позволяющих приближенно определить количество работников, которое необходимо перевести с работ имеющих резервы, на критические работы для формирования на обеих группах работ оптимальной численности.

В этом случае, прежде всего, выбирается пара родственных работ, выполнение которых требует исполнителей одной и той же профессии. Одна из работ критическая, другая должна иметь резерв времени.

Т огда, для того чтобы задействовать резерв времени, имеющийся у некритической работы (R_п(i-j)), необходимо решить систему уравнений с двумя неизвестными: х – число работников, которое необходимо перевести с некритической работы на критическую; у – число часов, на которое сократится критическая работа.

, (3)

Пример №3. Провести анализ и оптимизацию сетевого графика примера №2 (рис.8).

Длина полных путей:

• L(1-3-4-6-7) =29

• L(1-2-5-6-7) =23

• Рассчитаем критерий оптимальности сетевого графика

Таким образом, сетевой график может быть оптимизирован.

• Резерв пути R(1-3-4-6-7) = 37 – 29=8 час.

Продолжительность всех работ, принадлежащих данному пути (в нашем случае работы 1-3) может быть увеличена на 8 часов.

• Резерв пути R(1-2-5-6-7) = 37 – 23=14 час.

Продолжительность всех работ, принадлежащих данному пути (в нашем случае работ 2-5 и 5-6) может быть увеличена на 14 часов. Здесь, согласно данных табл.2, возможны варианты: увеличить продолжительность работы 2-5 на 14 часов; увеличить продолжительность работы 5-6 на 14 часов; увеличить продолжительность каждой из работ 2-5 и 5-6 на 7 часов.

Во всех случаях длина критического пути не увеличится.

Например, увеличим продолжительность работы 1-3 на 8 часов, общая продолжительность работы при этом составит 4+8 =12 часов, а число необходимых работников 24:12=2 чел., то есть излишние трудовые ресурсы составят 6 - 2 = 4чел. Увеличим продолжительность работы 2-5 на 14 часов, общая продолжительность работы при этом составит 3+14 =17 часов, а число необходимых работников 18:17~1 чел., то есть излишние трудовые ресурсы составят 6 - 1 = 5чел.

Получим сетевой график (рис.10)

Рис.10

Теперь продолжительность полных путей составит:

• L1-3-4-6-7=12+14+8+3=37

• L1-2-5-6-7=12+17+5+3=37

• L1-2-3-4-6-7=12+0+14+8+3=37

Таким образом, все полные пути стали критическими и за выполнением всех работ процесса необходим особый контроль, т.к. любое увеличение длительности любой из работ нарушит срок выполнения процесса в целом.

Выявленные излишние трудовые ресурсы могут быть задействованы в других производственных процессах (если не требуется сокращение длины критического пути данного процесса). Это можно рассматривать как оптимизацию сетевого графика по ресурсам.

Если же высвободившиеся трудовые ресурсы направить на критические работы, то длина критического пути сократится, то есть сетевой график будет оптимизирован по времени.

Условно выбирается пара родственных работ, выполнение которых требует исполнителей одной и той же профессии.

1. Первая пара работ:

критическая Q(1-2)=48; K(1-2)=4; t(1-2)=12.

некритическая Q(1-3)=24; K(1-3)=6; t(1-3)=4; R_п(1-2)=8

с истема уравнений:

Решая систему уравнений, получим х=2,667 ~ 2; у=4,8~ 4.

2. Вторая пара работ:

критическая Q(3-4)=56; K(3-4)=4; t(3-4)=14.

некритическая Q(2-5)=18; K(2-5)=6; t(2-5)=3; R_п(1-2)=14.

система уравнений:

Решая систему уравнений, получим х=4,173~ 4; у=7,148~ 7.

Распределение трудовых ресурсов до и после оптимизации приведено в табл.3

Таблица 3

код работы	Трудоёмкость работы, чел-ч	Число исполнителей работы, чел		Продолжительность работы, час		Характеристика работы
		До оптимизации	После оптимизации	До оптимизации	После оптимизации
1 -2	48	4	6	12	8	критическая
1-3	24	6	4	4	6	некритическая
2-3	-	-		-		фиктивная
2 -5	18	6	2	3	9	некритическая
3-4	56	4	8	14	7	критическая
5-6	25	5	5	5	5	некритическая
4-6	40	5	8	8	5	критическая
6-7	6	2	2	3	3	критическая

Длина полных путей:

• L(1-3-4-6-7) =24

• L(1-2-5-6-7) =25

• L_к(1-2-3-4-6-7)=26

Результаты расчета временных параметров сетевого графика после оптимизации приведены в табл.4, а сетевой график до и после оптимизации на рис. 11.

Рассчитаем критерий оптимальности сетевого графика

Оптимизация сетевого графика не требуется.

После оптимизации продолжительность рассматриваемого производственного процесса сократилась на 9 часов (37-26=9).

Таблица 4

Результаты расчета временных параметров сетевого графика после оптимизации

Наименование работы	Код работы (i–j)	Продолжительность работы t(i-j)	Ранний срок начала работы tрн(i-j)	Ранний срок окончания работы tро(i-j)	Поздний срок начала работы tпн(i-j)	Поздний срок окончания работы tпо(i-j)	Резерв времени работы
							полный Rп(i-j)	свободный Rс(i-j)
А	1-2	8	0	8	0	8	0	0
B	1-3	6	0	6	2	8	2	2
K	2-3	0	8	8	8	8	0	0
D	2-5	9	8	17	9	18	1	0
C	3-4	7	8	15	8	15	0	0
F	5-6	5	17	22	18	23	1	1
E	4-6	8	15	23	15	23	0	0
G	6-7	3	23	26	23	26	0	0

_{Рис. 11}