Задание для самостоятельной работы 6.1.

Прибор разрывная машина РМ-3 имеет на измерительном диске показания усилия - три шкалы. Необходимо оценить точность измерений каждой шкалы и погрешность оценки прочности ниток. Шкала А с диапазоном измерения от 0 до 500 гс (сН) и ценой деления 5 гс; шкала Б имеет диапазон измерения от 0 до 1000 гс (сН) с ценой деления 10 гс; шкала В диапазон измерений от 0 до 3000 гс (сН) с ценой деления 20 гс (сН).

Таблица 6.7. Результаты испытания ниток на разрывной машине

Шкала А	455	458	454	452	453	467	454	461	457	462
Шкала Б	457	473	490	465	478	471	489	475	484	486
Шкала В	466	484	482	458	463	475	481	471	477	479

Сделать вывод о достоверности оценки показателей свойств испытываемых материалов и о точности прибора.

Перенести данные в документ Word, оформите результаты как лабораторную работу №6, задание 6.1.

Задание для самостоятельной работы 6.2.

Прибор разрывная машина Instron-3345 имеет несколько диапазонов измерения. Кожевенные и композиционные текстильные материалы можно испытывать в трех диапазонах, каждая из которых имеет свою шкалу. Необходимо оценить точность измерений каждой шкалы и погрешность оценки прочности кожи. Шкала 1 с диапазоном измерения от 0 до 100 кгс (даН) и ценой деления 0,1 кгс; шкала 2 имеет диапазон измерения от 0 до 200 кгс (даН) с ценой деления 0,2 кгс; шкала 3 диапазон измерений от 0 до 500 кгс (даН) с ценой деления 0,5 кгс.

Таблица 6.8. Результаты испытания кожи на разрывной машине

	Вдоль линии хребта			Поперек линии хребта
Шкала 1	88,9	87,6	85,5	80,3	81,2	82,5
Шкала 2	87,4	88,1	86,9	81,2	81,7	83,0
Шкала 3	88,9	89,5	90,2	82,3	83,6	84,1

Сделать вывод о достоверности оценки показателей свойств испытываемых материалов и о точности прибора.

Перенести данные в документ Word, оформите результаты как лабораторную работу №6, задание 6.2.

Лабораторная работа №7

Статистические методы оценки погрешности измерений и характеристик двух сравниваемых приборов

Цель работы: научиться оценивать погрешность измерений двух приборов одного назначения и их метрологических характеристик на ПК в программе Excel.

Задание. 1. Проверить погрешность и оценить класс точности двух приборов.

2. Провести сравнительный анализ точности измерений двух приборов.

Основные сведения

При разработке нового оборудования устанавливают его метрологические характеристики: погрешность, точность и чувствительность. Для сопоставимости одноименных показателей характеристик свойств продукции и оценки точности и класса нового прибора и методик, проводят испытания на новом и известном оборудовании. Затем специалист осуществляет анализ данных, и даёт заключение о метрологических характеристиках нового оборудования и возможности его применения для оценки показателей качества продукции.

Для контроля качества очень важно, чтобы исследо-вательские приборы и оборудование давали максимально точные характеристики продукции.

Для этого необходимо сравнить работу двух измерительных приборов, прибор А, класс точности которого известен, например 3а и разработанного (нового) прибора В.

Из партии тканей была сделана случайная выборка проб п=10, и проведены испытания проб поочередно на приборе А, а затем на приборе В. Результаты измерений представлены в табл. 7.1. Сравнительный анализ точности приборов необходимо оценить при уровне значимости α=0,01.

Таблица 7.1. Результаты испытания ткани на приборах А и В

прибор А (хi)	56,1	56,2	56	56,04	56,1	56,08	56,18	56,03	56,15	56,08
прибор В ( yi)	56,2	56	56,25	56,02	56,18	56,06	56,04	56,24	56	56,12
di = yj-xj	0,1	-0,2	0,25	-0,02	0,08	-0,02	-0,14	0,21	-0,15	0,04

Таким образом, мы имеем две зависимые случайные выборки измерения одного и того же показателя на разных приборах. Другими словами надо определить значимо или незначимо различаются статистические оценки Х и У двух выборок.

Решение. Степень зависимости выборок оценим по величине коэффициента корреляции Пирсона r_xy по формуле:

Вычисляем разности выборочных значений d_i=y_j-x_j (табл. 7.1). Полученный ряд данных d_i считается выборкой объемом п.

Определяем среднее по d_i и дисперсию _d² полученных разностей по формулам:

и

Рассчитываем средние значения:

и

Расчетное (опытное) значение критерия Стьюдента определяют по формуле:

или для новой выборки

В нашем примере r_xy = -0,630; =0,02; _d²=0,02249; = 56,095; =56,11; t_B= -0,3141022. Число степеней свободы f = п-1= 10 - 1 = 9.

По таблице критических точек распределения Стьюдента (см. приложения), при уровне значимости α=0,01 и f=9 определяем критическое значение Стьюдента t_кр = 3,25.

Если |t_B| < t_кр, нет оснований сомневаться в достоверности данных, так как показания приборов существенно не отличаются друг от друга, то есть приборы практически идентичны по точности измерения.

Если |t_B| > t_кр, то приборы существенно отличаются друг от друга по точности измерения.

Определяем вероятность значимости результатов, которая рассчитывается по опытному значению критерия Стьюдента |t_B| (в нашем примере |t_B|=0,422), с помощью таблиц распределения Стьюдента, по числу степеней свободы f=9 и при уровне значимости α и α/2, определяем вероятность значимости:

Р(|Т| < 0,422) = 0,683 — т.к. 0,683>0,422, то имеем двустороннюю вероятность значимости, то есть строят двустороннюю критическую область распределения Стьюдента; Р(|Т| < 0,422) = 0,342 т.к 0,342<0,422, то имеем одностороннюю вероятность значимости.

В программе Excel

В пакете Анализ данных инструмент Парный двухвыборочный t-тест для средних используется для проверки гипотезы о различии средних для двух выборок данных. В нем не предполагается равенство дисперсий генеральных совокупностей, из которых выбраны данные. Парный тест используется, когда имеется естественная парность наблюдений в выборках.

Рассмотрим работу пакета анализа для проверки гипотезы о различии между средними на нашем примере.

Алгоритм действий следующий. Формируем таблицу исходных данных, располагая в ряд 1 в ячейку А1 записываем прибор А, а в ячейки В1:К1 данные испытаний на приборе А.

В ряд 2 в ячейку А2 пишем прибор В, а в ячейки В2:К2 данные испытаний на приборе В.

Для Excel-2003 выполнить команды Сервис/Анализ данных/ Парный двухвыборочный t -тест для средних - ОК.

Для Excel-2007 выполнить команды Данные / Анализ / Анализ данных / Парный двухвыборочный t-тест для средних - ОК.

В диалоговое окно внести данные:

Интервал переменной 1: $А$ 1 :$К$ 1.

Интервал переменной 2: $А$2:$К$2.

Гипотетическая средняя разность: 0 (значение по умолчанию).

Альфа: 0,01.

Выходной интервал: $А$6. ОК.

Excel представит результаты решения в виде (табл. 7.2).

Таблица 7.2. Результаты решения примера 2 с помощью инструмента Excel-2007 «Парный двухвыборочный t -тест для средних»

	А	B	C	D	E		G		F		H		I		J		K
1	прибор А	56,1	56,2	56	56,0		56,1		56,0		56,1		56,0		56,1		56,0
2	прибор В	56,2	56	56,25	56,0		56,1		56,0		56,0		56,2		56		56,1
3
4
5
6	Парный двухвыборочный t-тест для средних
7
8		прибор А	прибор В
9	Среднее	56,096	56,111
10	Дисперсия	0,004226	0,00992
11	Наблюдения	10	10
12	Корреляция Пирсона	-0,668493
13	Гипотетическая разность средних	0
14	df	9
15	t-статистика	-0,314102
16	P(T<=t) одностороннее	0,380301
17	t критическое одностороннее	2,821437
18	P(T<=t) двухстороннее	0,760602
19	t критическое двухстороннее	3,249835

В таблице 7.2 значения определены по формулам:

• - среднее -

• дисперсия —

• наблюдения —п=10;

• корреляция Пирсона r_xy по формуле;

• Гипотетическая разность средних ∆ принимаем равной нулю;

• df - число степеней свободы — к=п-1=9;

• t-статистика = t_B – расчетное значение критерия Стьюдента;

• P(T<=t) одностороннее – односторонняя вероятность значимости;

• t критическое одностороннее – t_кр – критическое значение критерия Стьюдента;

• P(T<=t) двухстороннее - двухсторонняя вероятность значимости;

• t критическое двухстороннее - t_кр – двухстороннее критическое значение критерия Стьюдента.

Выводы:

Так как |t_B|=0,3141022<t_{кр табл}=3,25, то можно сказать, что показания приборов существенно не отличаются друг от друга, то есть приборы практически идентичны по точности измерения.

Сравнивая значения критерием Стьюдента, видно, что значение |t_B| меньше двухстороннего и одностороннего критического значения критерия Стьюдента, следовательно, полученные результаты значимы, достоверны и сомнений не вызывают.