Самостоятельная работа по теме 3.2

Задание 3.3. В текстильном производстве выработана ткань на трех ткацких станках из пряжи двух поставщиков. Требуется выяснить, значимо ли влияние качества пряжи и настройки ткацких станков на качество готовой ткани, если разрывная нагрузка тканей составила (табл. 3.12). Сделайте выводы по результатам дисперсионного анализа.

Таблица 3.12. Разрывная нагрузка тканей

	В1	В2	В3
А1	91	98	103
А2	85	96	105

Задание 3.4. В швейном цеху по производству верхней одежды имеется по два пресса для дублирования деталей одежды клеевым прокладочным материалом, который поступает от трех разных поставщиков. Требуется выяснить, значимо ли влияние настройки прессов и качества прокладочных материалов на качество готовой одежды, если прочность при расслаивании клеевого соединения дублированных деталей составила (табл. 3.13). Сделайте выводы по результатам дисперсионного анализа.

Таблица 3.13. Прочность при расслаивании клеевого соединения

	В1	В2	В3
А1	7,5	9,3	10,1
А2	7,9	8,9	9,4

Сделайте выводы по результатам дисперсионного анализа.

Практическая работа №4 корреляционный и регрессионный анализ

4.1. Регрессионный анализ

При построении уравнения регрессии сначала необходимо установить наличие статистически значимых связей между переменными и оценить степень их тесноты. Виды корреляционных связей между измеренными признаками могут быть линейными и нелинейными, положительными или отрицательными. Возможна также ситуация, когда между переменными невозможно установить какую- либо зависимость. В этом случае говорят об отсутствии корреляционной связи. С целью выявления характеристик корреляционных зависимостей применяют корреляционный анализ. В задачи корреляционного анализа входит:

• установление направления (положительное или отрицательное) и формы (линейная или нелинейная) связи между варьирующими признаками,

• измерение тесноты связи (значения коэффициентов корреляции),

• проверка уровня значимости коэффициентов корреляции.

Затем с использованием регрессионного анализа переходят к математическому описанию данного вида зависимостей. С этой целью определяют вид функций, связывающий результативный показатель у и аргументы х₁, х₂,..., х_к, отбирают наиболее информативные аргументы, вычисляют оценки неизвестных коэффициентов уравнения регрессии и анализируют точность полученной математической модели.

Уравнением регрессии называется функция, описывающая зависимость среднего значения результативного признака у от заданных значений аргументов х, т.е.

у = f(х₁, х₂,..., х_к,, β₀, β₁,..., β_k.).

Зависимость результативного показателя (отклика системы) у от аргументов (факторов) х₁, х₂,..., х_к описывается полиномом вида:

y= b_o +b₁x₁ +b₂x₂+b₃x₃+…+ b_ix_i + b₁₁ + b₂₂ + b₃₃ + b_ij +…+ + b₁₂x₁х₂ + b₁₂x₁х₂+ b₁₃x₁х₃+ b₂₃x₂х₃+ b₁₂₃x₁х₂ х₃ +…+ b_ijx_iх_j +…

Данный полином называют регрессионной зависимостью (оценкой уравнения регрессии), а коэффициенты b_i b_ii, b_ij - статистическими оценками коэффициентов регрессии. При этом b_i - линейные коэффициенты, b_ii— нелинейные коэффициенты, b_ij — коэффициенты, учитывающие взаимное влияние факторов.

Задача регрессионного анализа заключается в экспериментальном определении коэффициентов регрессии b путем наблюдения за характером изменения входных переменных (факторов) и выходной величины (результативного показателя).

Значимость коэффициентов регрессии проверяется с помощью t-критерия Стьюдента.

При проведении регрессионного анализа рассчитываются показатели так называемой регрессионной статистики:

• множественный коэффициент корреляции

(4.1)

• где – регрессионные остатки;

- среднее результативного признака;

• квадрат множественного коэффициента корреляции - коэффициент детерминации- R²;

• нормированный коэффициент детерминации:

(4.2)

• стандартную ошибку

(4.3)

Для исходных данных проводится однофакторный дисперсионный анализ, при этом рассчитываются (табл. 4.1):

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Оценка дисперсии
Межгрупповая		k
Остатки		n-k-1
Полная (общая)		п - 1

• расчетное значение F-критерия F_B = / ;

• значимость F определяется так же, как при рассмотрении двухвыборочного F -теста о равенстве дисперсий (см. лаб работу №2/1);

• Р – вероятность значимости определяется так же, как при рассмотрении парного двухвыборочного t-теста.

• Расчетное значение F_B сравнивается с F_Kp(α; к; п-к-1), определяемого по таблице критических точек распределения Фишера (см. приложения). При этом проверяется нулевая гипотеза Н₀: β = 0.

Если F_B > F_Kр, гипотеза Н₀ отвергается, т.е. хотя бы один коэффициент регрессии b_j. не равен нулю. В множественном регрессионном анализе исследуется зависимость величины у от нескольких независимых переменных х₁, х₂,..., х_к.

Пример 4.1. На основе линейной регрессионной модели исследовать зависимость прочности ткани (у) от прочности нитей (х₁), плотности ткани (х₂) и количества аппрета (х₃). Имеются данные 15 наблюдений (табл. 4.2)

Таблица 4.2

Номер опыта	Y	Х1	Х2	Х3
1	60	60	300	5
2	58	60	300	2
3	66	60	400	5
4	62	60	400	2
5	69	60	500	2
6	68	70	300	5
7	65	70	300	2
8	70	70	400	5
9	72	70	400	2
10	75	70	500	2
11	90	80	500	5
12	80	80	400	2
13	85	80	400	5
14	83	80	300	5
15	75	80	300	2

Решение.

В программе Excel в пакете Анализ данных инструмент Регрессия предлагает линейный регрессионный анализ, который заключается в подборе графика для набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или более независимых переменных.

Рассмотрим работу пакета для проведения регрессионного анализа.

В открывшееся окно в категории Входные данные необходимо указать:

Входной интервал у — диапазон анализируемых зависимых данных, диапазон должен состоять из одного столбца;

Входной интервал X — диапазон независимых данных, подлежащих анализу. Excel располагает независимые переменные этого диапазона слева направо в порядке возрастания. Максимальное число входных диапазонов равно 16;

Константа ноль — установите флажок, чтобы линия регрессии прошла через начало координат (коэффициент b₀ = 0);

Уровень надежности — установите флажок, чтобы включить в выходной диапазон дополнительный уровень. В соответствующее поле введите уровень надежности, который будет использован дополнительно к уровню 95%, применяемому по умолчанию.

Excel предлагает в качестве параметров вывода Остатки (Остатки; Стандартизованные остатки; График остатков; График подбора) и Нормальную вероятность (График нормальной вероятности) - везде установить флажок.

Алгоритм действий следующий.

Формируем таблицу исходных данных (табл. 4.3):

Сервис / Анализ данных / Регрессия / ОК.

• Входной интервал Y: $А$ 1: $А$ 16.

• Входной интервал X: $В$1:$D$ 16.

• Уровень надежности: 90 %.

• Выходной интервал: $А$18.

• Поставить флажки в категории Остатки и Нормальная вероятность.

• ОК.

Excel представит результаты решения таблично в следующем виде (табл. 4.4).

Таблица 4.3

	А	В	С	D	E
1	Номер опыта	Y	Х1	Х2	Х3
2	1	60	60	300	5
3	2	58	60	300	2
4	3	66	60	400	5
5	4	62	60	400	2
6	5	69	60	500	2
7	6	68	70	300	5
8	7	65	70	300	2
9	8	70	70	400	5
10	9	72	70	400	2
11	10	75	70	500	2
12	11	90	80	500	5
13	12	80	80	400	2
14	13	85	80	400	5
15	14	83	80	300	5
16	15	75	80	300	2

Таблица 4.4

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,978659
R-квадрат	0,9577
Нормированный R-квадрат	0,9462
Стандартная ошибка	2,1902
Наблюдения	15
Дисперсионный анализ
	df	SS		MS		F		Значимость F
Регрессия	3	1196,963		398,987		83,16		7,64E-08
Остаток	11	52,77078		4,79734
Итого	14	1249,733
Окончание таблицы 4.4
	Коэффициенты	Стандартная ошибка		t-статис-тика		P-значение		Нижние 95%		Верхние 95%		Нижние 90,0%		Верхние 90,0%
Y-пересечение	17,462	5,721653		3,05191		0,011		-30,05		-4,86		-27,73		-7,186
Х1	0,9464	0,070221		13,4787		0,034		0,791		1,101		0,820		1,072
Х2	0,0507	0,007602		6,67273		0,035		0,034		0,067		0,037		0,064
Х3	1,1171	0,385304		2,89940		0,014		0,269		1,965		0,425		1,809
ВЫВОД ОСТАТКА									ВЫВОД ВЕРОЯТНОСТИ
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки		Стандарт. остатки				Персентиль		Y
1	60,1310	-0,13108		-0,06751				3,3333		58
2	56,7796	1,22038		0,628583				10		60
3	65,2038	0,796198		0,410099				16,666		62
4	61,8523	0,147657		0,076054				23,333		65
5	66,9250	2,074934		1,068739				30		66
6	69,5959	-1,59593		-0,82202				36,666		68
7	66,2444	-1,24447		-0,64099				43,333		69
8	74,6686	-4,66866		-2,40469				50		70
9	71,3172	0,682803		0,351692				56,666		72
10	76,3899	-1,38992		-0,71591				63,333		75
11	89,2062	0,793767		0,408846				70		75
12	80,7820	-0,78205		-0,40281				76,666		80
13	84,1335	0,86649		0,446304				83,333		83
14	79,0607	3,939213		2,028975				90		85
15	75,7093	-0,70933		-0,36535				96,666		90

Регрессионная статистика в (табл. 4.4) представлена:

- множественный R - множественный коэффициент корреляции (формула 4.1);

- R-квадрат - квадрат множественного коэффициента корре­ляции - коэффициент детерминации;

- нормированный R-квадрат - нормированный квадрат множественного коэффициента корреляции (формула 4.2);

• стандартная ошибка (формула 4.3);

• наблюдения - количество наблюдений.

Дисперсионный анализ в таблице 4.4 представлен для регрессии и остатков:

• df — число степеней свободы;

• SS— суммы квадратов разностей;

• MS — оценки дисперсий;

• F— вычисленное значение критерия Фишера (F_B),

• значимость F.

Данные для уравнения регрессии в таблице представлены:

• для переменной x_Q (Y— пересечение),

• коэффициенты — b_Q, b₁, b₂и b₃;

• стандартная ошибка (10.3) - _b0, _b1, _b2 и _b2;

• t-статистика — t_b0, t_b1, t_b2, и t_b3.

• P-значение — вероятность значимости;

• нижние 95% и верхние 95%, нижние 90% и верхние 90% - интервальные оценки для коэффициентов регрессии с доверительной вероятностью р=0,95 и р=0,90 соответственно.

ВЫВОД ОСТАТКА в данной таблице представлены:

• наблюдения - порядковый номер значения прочности ткани (у) в таблице исходных данных;

• предсказанное у - значение производительности труда ( ), рассчитанное по уравнению регрессии;

• остатки - ;

• стандартные остатки.

ВЫВОД ВЕРОЯТНОСТИ в (табл. 4.4) представлены:

• персентиль — рассчитывается для каждого значения у как сумма предшествующего вычисленного значения

персентиля и h=(100%/наблюдение);

• начальное и конечное значения персентиля рассчитываются как (0 + h/2) и (100 - h/2) — соответственно;

• у — значения производительности труда, расположенные в порядке возрастания.

Кроме таблиц Excel представит следующие графики.

График нормального распределения, построенный по данным таблицы ВЫВОД ВЕРОЯТНОСТИ (рис. 4.1).

Рис. 4.1. График нормального распределения

А также графики остатков для переменных х₁ , х₂ и х₃ и графики подбора для переменных х₁ , х₂ и х₃.

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

У=17,462 + 0,946485Х₁ + 0,050727Х₂ + 1,117153Х₃

Проверяем значимость коэффициентов уравнения регрессии по критерию Стьюдента. При нулевой гипотезе Н_о: β=0, если t_В t_кр нулевая гипотеза отклоняется, и принимается гипотеза, что коэффициенты значимы.

Значение t-критерия табличного при числе степеней свободы f=15-3-1=11 и α=0,05, t_кр=2,201. Если t_кр, то коэффициенты значимы. Учитывая, что t_b1=13,47871>t_кр, t_b2=6,672734> t_кр и t_b3=2,899409> t_кр, то коэффициенты уравнения регрессии значимы.

Учитывая, что расчетное значение критерия Фишера F_B=83,168 больше табличного F_кр=7,64, то нулевая гипотеза, что β=0, отвергается, т.е. полученное уравнение регрессии значимо и

хотя бы один из коэффициентов уравнения не равен нулю.

Р-значение оценивает значимость математической модели. Регрессионная модель значима, если вероятность ошибки Р меньше заданного уровня значимости (по умолчанию 0,05). В нашем случае все р-значения для переменных х меньше 0,05. Значит модель значима.

Если окажется, что некоторые из факторов незначимы, то в этом случае надо строить новую модель, удалив незначимые факторы, воспользовавшись пошаговой регрессией.