Уравнение проекции Меркатора.

Покажем, что прямая линия на карте в меркаторской проекции действительно представляет собой локсодромию.

Локсодромия → кривая, пересекающая все меридианы под одним и тем же углом К (рис. 18.2).

Рис. 18.2. Локсодромия на земном шаре

Судно, совершающее плавание постоянным курсом, перемещается именно по локсодромии.

Уравнение локсодромии на поверхности эллипсоида имеет вид:

(18.3)

Если пренебречь сжатием эллипсоида и приняв Землю за шар, то уравнение локсодромии примет вид:

(18.4)

Из формулы (6.8) выводятся следующие свойства локсодромии:

• – при К = 0°(180°) → локсодромия совпадает с меридианом;

• – при К = 90°(270°) → локсодромия совпадает с параллелью, а при φ = 0° – с экватором;

• –при любых других К – локсодромия является логарифмической спиралью, стремящейся к полюсу, но никогда его не достигающей;

• – локсодромия своей выпуклостью обращена к экватору. Длину и направление локсодромии по известным координатам точек вычисляют по формулам аналитического счисления.

Напишем уравнение прямой, проходящей через т. А (Х₀, У₀) наклонно к оси Х под углом К равным курсу (рис. 18.3).

Рис. 18.3. Уравнение прямой

(Y − Y0) = (X − Х0) · tgK

(18.5)

Подставим в полученное уравнение (6.9) вместо Х и У их выражения через φ и λ, принимая для простоты Землю за шар:

Y = a · λ

(18.6)

где a – коэффициент пропорциональности определяющий расстояния между меридианами.

(18.7)

Тогда:

(18.8)

Это уравнение показывает, что прямая линия на меркаторской проекции действительно представляет собой локсодромию.

Таким образом, проводя на меркаторской проекции параллели в расстоянии МЧ от экватора, удовлетворяются оба требования, предъявляемые к морской навигационной карте.

Единицы длины на карте меркаторской проекции.

Из принципа построения меркаторской проекции видно, что все параллели картографической сетки вытягиваются пропорционально secφ и для сохранения равноугольности все меридианы этой сетки должны быть растянуты, в свою очередь, пропорционально растяжению параллелей, т.е. в secφ раз.

Чтобы построить картографическую сетку, удовлетворяющую требованию равноугольности, и учесть растяжение меридианов на величину secφ надо практически знать удаление по меридианам каждой параллели от экватора.

Удаление параллелей от экватора обычно выражается в экваториальных милях, так как экватор не испытывает растяжения и экваториальная миля → величина const.

Меридиональная часть (МЧ или D) → расстояние по меридиану от экватора до данной параллели, выраженное в экваториальных милях.

Если принимать Землю за шар, то МЧ вычисляется по формуле:

(18.9)

Для сфероида надо учесть сжатие Земли и формула для МЧ примет вид:

(18.10)

где	→ эксцентриситет эллипсоида вращения;
	а, в → большая и малая полуоси земного эллипсоида.

Вычисленные по формуле (6.14) МЧ для эллипсоида даны в табл. 26 «МТ-75» (с. 280÷287) в экваториальных милях с точностью до 0,1 по аргументу φ с интервалом в 1′ или в табл. 2.28а «МТ-2000» (с. 314÷321) → см. табл. 6.2.