Дополнительные данные к эллипсоиду Красовского

Большая полуось а = 6 378 245 м.

Малая полуось b = 6 356 863,019 м.

Первое (полярное) сжатие α = = 0,0033523299.

Второе сжатие α′ = = 0,0033634749.

Эксцентриситет e = = 0.081813333.

Радиус шара одинакового объема с эллипсоидом Красовского R = 6 371 110 м.

Радиус шара одинаковой поверхности с эллипсоидом Красовского R = 6 371 116 м.

Радиус шара одинаковой окружности большого круга с длиной меридиана эллипсоида Красовского R = 6 367 559 м.

Радиус шара, одна минута дуги большого круга которого равна морской миле (1852 м) R = 6 366 707 м.

При решении задач, не требующих высокой точности, сжатием Земли пренебрегают, т.е. принимают Землю за шар.

К таким задачам, например, относятся:

• измерение расстояний;

• вычисление дальности видимости ориентиров;

• расчеты плавания по кратчайшим расстояниям и др.

Радиус шара выбирают исходя из определенных условий. Например, при измерении расстояний на море, радиус шара R = 6366 км 707 м (L_Э = 39 983 км).

R_СР = 6371,1 км (L_Э = 40 010,5 км).

Радиусы кривизны земного эллипсоида.

Плоскости секущие эллипсоид вращения по различным направлениям, образуют в пересечении с его поверхностью или окружности или эллипсы.

Основными сечениями эллипсоида являются (рис. 3.1):

• сечение плоскостью, проходящей через малую ось;

• сечение плоскостью, перпендикулярной малой оси;

• нормальное сечение.

Сечение плоскостью, проходящей через малую ось РР′ эллипсоида, образует на его поверхности меридианный эллипс или истинный меридиан «PQP′Q′». Кривизна его – переменная величина (радиус кривизны М – тоже). Радиус М уменьшается с уменьшением географической широты (φ) и вычисляется по формуле:

(2.1)

где а – большая полуось;

      е – эксцентриситет

Приняв, что , то

(2.2)

Рис.2.1. Радиусы кривизны земного эллипсоида

Экваториальный радиус кривизны меридиана при φ = 0°: М₀ = 6 335 552,6 м.

Сечение эллипсоида плоскостью перпендикулярной его малой оси РР′ дает на его поверхности малый круг qq′ – параллель. Радиус параллели r вычисляется по формуле:

(2.3)

При φ = 0° радиус параллели равен большой полуоси (а) эллипсоида, и эта параллель – земной экватор.

Нормальное сечение – сечение эллипсоида плоскостью, проходящей через нормаль к его поверхности. Из бесчисленного множества возможных нормальных сечений выделяют два главных нормальных сечения – меридианное и перпендикулярное ему – сечение первого вертикала. Для сечения первого вертикала радиус кривизны эллипса N, вычисляется по формуле:

(2.4)

на полюсе M = N, M < N;

на экваторе N₀ = a.

Экваториальный радиус кривизны первого вертикала при φ = 0°: N₀ = a = 6 378 245 м.

Радиус кривизны нормального сечения, составляющего с меридианом в заданной точке угол А, вычисляется по формуле:

(2.5)

где М и N – величины, определяемые в зависимости от широты φ по формулам (1.4) и (1.7).

Радиусом средней кривизны эллипсоида в данной точке с широтой φ называют среднее геометрическое из радиуса М и N.

Радиус средней кривизны эллипсоида вычисляется по формуле:

(2.6)

Значения М, N, R даны в картографических таблицах УГС через каждые 30′ φ.

Произведение любого радиуса кривизны на «arс 1′» равно длине дуги в 1′ данного сечения. Учтя приведенные выше формулы, получим выражение для определения длин дуг:

1. – одной минуты параллели:

   (2.7)

2. или без учета сжатия Земли (е = 0)

   ρ = a · cosφ · arc1′

   (2.8)

3. – одной минуты первого вертикала:

   (2.9)

4. или приближенно:

   Δ1′N = 1858,461 − 3,404 · cos2φ

   (2.10)

5. – одной минуты меридиана:

   (2.11)

6. или приближенно:

Δ1′M = 1852,23 − 9,34 · cos2φ.

(2.12)

Таким образом, поверхность земного эллипсоида имеет кривизну, изменяющуюся от точки к точке по широте и от направления в данной точке.

Вопросы для самоконтроля:

1. Какие основные формы Земли применяются для расчетов?

2. Какие размеры Земли?

3. Что такое референц-элипсоид?

1. Дать определение величины кривизны земного эллипсоида в различных его частях.

* * *