4. Графоаналитический способ моделирования

Рассмотрим графоаналитический способ моделирования по схеме простой цепи Маркова. Он заключается в построении графика связи k_i+1=f(k_i) (см. рис. 9.5). Полученное поле точек раз­бивается на т интервалов по оси k_i. Границы интервалов выбираются таким образом, чтобы в каждый интервал входило приблизительно (n—1)/m точек. Для каждого j-интервала рассчитываются статистические характеристики значений k_i+1, попавших в этот интервал, _i+1, C_s, C_v. По этим статистическим характери­стикам в поле клетчатки вероятностей строятся т кривых обеспе­ченности (рис. 9.6). Предварительно ординаты кривых обеспечен­ности приводятся к единому модульному коэффициенту. Для этого ординаты из таблицы нормированных ординат закона распределе­ния Пирсона III типа умножаются на k_(i+1)j.

Рис. 9.6. Кривые обеспеченности значений k_i+1 стока р. Волги у г. Старица для различных интервалов (1—3) значений k_i.

На основе полученных построений производится моделирование:

1. задается произвольное k_o. Например, k_o=0;

2. по оси ординат (см. рис. 9.6) определяется, к какому интервалу значений k_i относится k_o. Естественно, что для определения k₁ используется кривая обеспеченности этого интервала;

3. считывается случайное число α₁ и умножается на 100. Полученное произведение принимается за обеспеченность первого числа P₁;

4. по определенной выше кривой обеспеченности снимается значение k₁;

5. по k₁ определяется (см. п. 2) интервал значений k₁, и следовательно, номер кривой обеспеченности для следующего члена;

6. находится (см. п. 3) обеспеченность следующего числа — Р_α,

7. по определенной выше кривой обеспеченности снимается значение k₂ и т.д.

Названный прием моделирования достаточно удобен при ручном счете.

Аналитические способы моделирования

Рассмотрим способ моделирования в случае нормальной корреляции, тогда составляющая _i+1(k_i) определяется по уравнению регрессии

(9.9)

где r₁ — коэффициент корреляции смежных значений ряда; _i+1 и _i — средние значения ряда X соответственно от первого до n — 1 -го члена и от второго до п-го члена; и ,—средние квадратические отклонения ряда соответственно от первого до п— 1-го члена и от второго до п-го члена.

В большинстве случаев с достаточной точностью можно принять

;

. (9.10)

Тогда

(9.11)

В полученном уравнении регрессии параметры k_i и r_i известны, поэтому расчет k_i+1(k_i) не представляет трудности.

Несколько сложнее определить случайную составляющую β. Относительно нее известно, что среднее значение =0, а дисперсия

(9.12)

где D — дисперсия исходного ряда, — по существу дисперсия погрешности расчета x_i+1 по x_i по уравнению регрессии (см. разд. 7.2.3).

Отсюда

(9.13)

и

(9.14)

Зная числовые характеристики _i+1, , и значение случайного числа α, можно определить i+1 – ое значение случайной составляющей

(9.15)

где и —соответственно нормированная ордината и модульный коэффициент случайной составляющей i+1-го члена моделируемого ряда, которые определяются обычно по таблицам заданного закона распределения по полученным P_i+1. Например, для распределения Крицкого-Менкеля и в соответствии с формулами (9.8), (9.11), (9.15) получаем

(9.16)

Эта формула обычно и используется для моделирования по схеме простой цепи Маркова при расчетах на ЭВМ. При этом P_i+1 определяется по случайному числу α_i+1, полученному одним из известных способов.

Закон распределения β_i+1 определяется исходя из гипотезы о том, что отношение равно отношению C_s/C_v, Эта гипотеза достаточно справедлива для законов распределения, близких к нормальному.

1 По смоделированным рядам строятся функции распределения основных параметров и сравниваются с параметрами исходного ряда наблюдений. Чем ближе выборочные характеристики к параметрам ряда наблюдений и чем меньше их рассеяние, тем лучше (в определенном смысле) метод моделирова­ния [48].