9.3. Разыгрывание последовательности значений дискретной случайной величины

Пусть, например, перед нами поставлена задача получить ряд значений дискретной случайной величины X с распределением

где – возможные значения случайной величины Х, расположенные в убывающем порядке; – вероятности этих значений,

Для решения этой задачи представим себе (см. пример в начале главы), что единичный квадрат, площадь которого S_o=l, разделен на k площадок, размеры которых S₁, S₂,…, S_k заданы в долях единицы и равны соответственно вероятностям p₁, p₂, ..., p_k. Выберем в единичном квадрате N случайных, равномерно распределенных точек, каждая из которых задана координатами (х, у), представляющими собой значения случайных величин X и Y, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1.

Если i-я точка (i = 1, 2, ..., N) попала в какую-то j-ю площадку, то будем считать, что мы получили значение X, равное , т. е. х_{i =} ξ _j. Если i+1 -я точка попала в какую-то ζ - ю площадку, то будем считать, что мы получили значение X, равное ξ _j , т. е. х_{i+1 =} ξ _j. И так далее.

В пределе при достаточно большом N распределение полученных значений X (х₁, х₂,… , x_n) будет сходиться по вероятности к заданному распределению. Это с очевидностью сле­дует из того, что вследствие равномерного распределения случайных точек в площади единичного квадрата число попаданий в каждую площадку при N → ∞ со будет определяться ее размерами, в свою очередь равными вероятности j-го значения случайной величины.

В данном случае двумерные координаты (х, у) использовались только для уяснения аналогии и общности алгоритма метода Монте-Карло при решении различных задач. Вообще же для решения задачи розыгрыша дискретной случайной величины достаточно иметь одну числовую ось.

Подготовка к розыгрышу при этом заключается в том, что на числовой оси У (рис. 9.2) откладывается интервал от 0 до 1, ( ), который разбивается, начиная от нуля, на k интервалов длиной, равной соответственно p₁, p₂, . . ., p_k. Полученные интервалы нумеруются цифрами j= 1, 2, 3, . .., k.

Сам розыгрыш заключается в следующем. Каким-либо способом, например из таблицы случайных чисел, равномерно распределенных(см.

Рисунок 9.2. Вероятности значений случайной величины на числовой оси

разд. 9.4) в интервале от 0 до 1, последовательно считываются значения a_i. (i = 1, 2, ... , N) . Затем на оси У определяется в какой интервал на оси У попадает заданное значение точки, то есть где у_j = a_i.

Если точка а_i попадает в интервал с номером j, то считается, что данное значение х_{i =} ξ _j., и т. д.

Разыгрывание дискретной случайной величины, состоящее из множества испытаний, обычно производится на ЭВМ. При этом значения случайной величины а могут быть получены различными путями (см. разд. 9.4).

Пусть распределение разыгрываемой случайной величины задано в памяти машины в виде табл. 9.1.

Таблица 9.1

Распределение дискретной случайной величины

Значения X	ζ 1	ζ 2	…	ζ i	…	ζ к
Вероятность значений	p1	p2	…	pi	…	pk
Обеспеченность	P1	P2	…	Pi	…	Pk

В этой таблице i — порядковый номер значений случайной ве­личины X; — значения случайной величины, расположенные в убывающем порядке; р_i — вероятность значений ; — обеспеченность значений .

Разыгрывание производится по следующей схеме (рис. 9.3). Задается номер члена ряда (i=1, 2, ..., п). Затем по таблице случайных чисел находится a_i, дальше a_j сравнивается со значениями обеспеченности Р_j (j= 1, 2, . ..,..., k— 1) и если , то i-му члену моделируемого ряда присваивается значение . Затем проверяется i = n, и если равенство выполняется, т. е. получены все п значений, то розыгрыш прекращается, если нет, то i увеличивается на 1 и весь расчет, начиная со 2-го оператора (см. рис. 9.3), повторяется.

Привести в порядок рисунок

Рис. 9.3. Блок-схема розыгрыша ряда значений дискретной случайной величины.