6.5.2. Оценка среднего значения

Оценка среднего значения производится при помощи статистики t, являющейся нормированным отклонением выборочного среднего значения , от математического ожидания

(6.20)

Математическое ожидание статистики t и ее среднее квадратическое отклонение равны соответственно 0 и 1 (см. разд. 3.1.3). Распределение статистики t подчиняется при некоторых условиях закону t-распределения Стьюдента.

(6.21)

где v — число степеней свободы

(6.22)

Формула (6.21) выражает вероятность случайных значений τ меньших, чем заданные значения t, т. е.

(6.23)

Указанное соотношение может быть использовано для определения значимости или существенности расхождения между выборочным и предполагаемым генеральным значением параметра распределения а, или между действительными значениями параметра а по разным выборкам. Так, если вероятность данного расхождения выборочной характеристики с генеральной составляет менее 1-5 %, т. е. очень мало, то, по-видимому, расхождение существенно или значимо. Обычно вопрос о значимости решается с помощью таблицы значений t, соответствующих данному уровню значимости а при данном числе степеней свободы v (см., например, работу [63], прилож. 7). В заголовке таблицы в первой строке указаны уровни значимости при использовании одностороннего критерия значимости (см. разд. 6.3), когда необходимо знать вероятность того, что t превосходит некоторое значение только в положительном (или только в отрицательном) направлении, а во второй строке указаны уровни значимости при использовании двухстороннего критерия значимости, когда определяется вероятность того, что t будет по абсолютной величине больше некоторого значения.

При малых значениях степеней свободы t-распределение Стьюдента заметно отличается от нормального распределения (рис. 6.3). Основное различие заключается в том, что для формы распределения характерна большая островершинность и более длинные хвосты на концах (рис. 6.3). По мере возрастная v распределение стремится к нормальному и уже при v = 30 t-распределение практически не отличается от него.

Рис. 6.3. Кривая нормального (1) и t-распределения (2).

t-распределение Стьюдента играет важную роль в гидрометеорологических исследованиях. Наибольшее распространение оно получило для оценки доверительных границ математического ожидания, оценки значимости среднего, оценки расхождения средних значе­ний по двум и более рядам значений исследуемых процессов.

6.5.3. Определение доверительных границ математического ожидания

Пусть имеется выборка значений случайной величины Х объемом в п членов. Среднее значение выборки: , несмещенная оценка дисперсии: . На основании этих данных требуется найти границы, внутри которых с определенной степенью надежности находится среднее значение генеральной совокупности т_x.

Выбрав двухсторонний 10 %-й уровень значимости (2α=10%), при данном числе степеней свободы v находим t_0,05 такое, что т. е. вероятность того, что | | будет больше или равно табличному t_0,05 составляет 0,05. Тогда вероятность противоположного неравен­ства будет равна т. е. вероятность того, что t находится в пределах ± t_0,05. составляет 90 %. Подставляя в это равенство значение t, находим

(6.24)

Отсюда

(6.25)

Таким образом, с вероятностью 0,90 можно утверждать, что среднее значение общей совокупности лежит между значениями _н и _в, равными соответственно

_н = -t_0,05σ/ , _в = +t_0,05σ/ . (6.26)

Эти значения называются доверительными границами среднего значения общей совокупности при двухстороннем 5%-м уровне значимости.