5.3.3. Оценка параметров распределения Пирсона ш типа

Имеем выборку значений ряда X, подчиняющегося закону гамма-распределения. Вероятность i-го значения X оценивается по формуле (4.51). Подставляя эту формулу в формулу (5.20), получаем формулу функции правдоподобия

Откуда, с учетом того, что (см. гл.4), следует

(5.31)

Прологарифмируем это выражение:

(5.32)

Отсюда можно найти значения оценок параметров т_х и D_x для различных соотношений C_s и C_v. Рассмотрим, например, случай, когда C_s = 2 C_v. В этом случае (см. гл. 4 )

(5.33)

Найдем оценку коэффициента вариации

(5.34)

Отсюда

(5.35)

Введем обозначение

(5.36)

Тогда

(5.37)

т. е. α, а следовательно, и C_v могут быть установлены по сумме логарифмов исходного ряда. Можно показать, что и при других соотношениях C_s и С_v C_v = f(λ). Зависимость между λ и С_v обычно представляется в виде графика или таблицы C_v = f(λ.) (см., например, работу [39], прилож. 1) в десятичных логарифмах, позволяющих с помощью простых вычислений находить оценку C_v при практических расчетах.

В явном виде коэффициент изменчивости C_v выражается через X следующим соотношением, указанным К. А. Семендяевым [9]:

(5.38)

где λ задают в натуральных логарифмах.

Оценка C_v и C_s методом приближенного наибольшего правдоподобия для распределения Крицкого-Менкеля производится по специальным номограммам, в качестве входа в которые используются значения λ₂ и λ₃, где λ₂ определяется по формуле (5.54), а λ₃ по формуле

(5.39)

Номограммы даны в работе [39], прилож. 1. Схема построения и соответствующие выводы представлены в монографии Е. Г. Блохинова [9].

5.3.4. Особенности применения метода наибольшего правдоподобия

По сравнению с другими методами оценки числовых характеристик метод наибольшего правдоподобия обладает рядом важных достоинств, главными из которых являются следующие:

1. если для параметра a существует эффективная оценка , то она получается как единственное в этом случае решение уравнения правдоподобия;

2. статистики, найденные методом правдоподобия, основаны на использовании всей информации о данных параметрах, содержащейся в выборке;

3. всегда дает состоятельные оценки.

К недостаткам метода наибольшего правдоподобия, в значительной мере сдерживающих его применение в повседневной практике, относятся:

1. формулы оценки статистических параметров методом наибольшего правдоподобия зависят от закона распределения исследуемой величины. Так как закон распределения во многих случаях устанавливается по самим статистическим характеристикам, то это вносит некоторый элемент неопределенности в расчетную схему метода;

2. расчеты методом наибольшего правдоподобия нередко весьма трудоемки и возможны лишь при наличии ЭВМ. Правда в последние годы для гамма-функции и закона распределения Крицкого-Менкеля разработан ряд таблиц и номограмм, в значительной степени облегчающих ручной счет [42, 63].