3.2 Системы случайных величин и их характеристики

3.2.1. Общая характеристика законов распределения системы случайных величин

Геогэкологические процессы определяются совокупным воздействием множества различных факторов (см. гл. 2). При их математическом анализе совокупность различных факторов часто рассматривается как система случайных величин [ ].

Система m случайных величин (X_1, Х₂, ... , Х_т) геометрически интерпретируется как координаты случайной точки в m -мерном пространстве. Иногда в этих целях используют образ случайного вектора, составляющие которого по осям представляют собой случайные величины X₁, X₂, ..., Х_т.

Функция распределения m-мерного случайного вектора или, иначе, совместная функция распределения определяется как веро­ятность совместного выполнения т неравенств

(3.56)

Свойства совместной функции распределения аналогичны свой­ствам функции распределения одной случайной величины (см. разд. 3.1.3). Кроме того, так как события X_j < -∞ (j = 1, 2, . . ., т) невозможны, то при стремлении хотя бы одного аргумента к -∞, совместная функция распределения стремится к нулю. Важно также отметить, что при стремлении какого-то j-го аргу­мента к ∞, событие становится достоверным и совместная функ­ция распределения уже не зависит от j-го аргумента. Отсюда для получения функции распределения одной или нескольких из имею­щихся случайных величин нужно все остальные аргументы поло­жить равными бесконечности.

Плотность распределения системы случайных величин или совместная плотность распределения ­– смешанная частная производная, если она существует, от совместной функции распределения, взятая 1 раз по каждому аргументу

(3.57)

Свойства совместной плотности распределения во многом аналогичны свойствам плотности распределения одной случайной ве­личины (см. разд. 3.1.3). Зная плотность распределения, можно определить совместную функцию распределения

(3.58)

Зная совместную плотность распределения, можно определить вероятность попадания случайной точки (X₁, X₂, …, Х_т) в пре­делы m-мерной области D по формуле

(3.59)

3.2.2. Зависимость между случайными величинами

Для исчерпывающей характеристики системы недостаточно знать распределение каждой из величин, входящих в эту систему. Нужно еще знать зависимость между этими величинами. В наиболее общем виде эта зависимость может быть охарактеризована с помощью так называемых условных законов распределения.

Условный закон распределения Х_k – закон распре­деления, определенный при условии, что другие случайные вели­чины X_j (j≠k) приняли заданные значения.

Условный закон распределения можно задавать как функцией F(x_k/x_j, j≠k), так и плотностью распределения f(x_k/x_j, j≠k).Случайные величины, входящие в систему могут быть зависимыми и независимыми

Незвисимые случайные величины –закон распределения каждой из них или любой их подсистемы не зависит от того, какие значения приняли остальные величины.

Функция распределения системы независимых случай­ных величин равна произведению их функций распределения, т.е.

(3.60)

Аналогично плотность распределения системы независимых случайных величин определяется по формуле

(3.61)

Условия, выраженные формулами (3.60) и (3.61), являются необходимыми и достаточными условиями независимости случай­ных величин, входящих в систему.

При наличии линейной связи для характеристики связи двух случайных величин X и У используется второй смешанный цен­тральный момент, называемый корреляционным моментом или мо­ментом связи случайных величин:

(3.62)

где и —центрированные случайные величины [см. формулу (3.23)]. Для дискретных случайных величин

(3.63)

где p_{i, j} = р(Х= x_i, Y= у_j)—вероятность совместного появления событий x_i и y_j.

Если X и У независимые случайные величины, то p_ij = p_ip_j и К_ху, как следует из формулы (3.63), равно нулю.

Для непрерывных случайных величин

(3.64)

Если X и У независимы, то f(x, у) =f(x)f (у) и, как следует из формулы (3.64), К_Хy=0,

Из формул (3.63) и (3.64) следует, что корреляционный мо­мент характеризует не только линейную зависимость X и У, но и их рассеивание относительно математического ожидания. Так, если одна из величин X или Y очень мало отклоняется от своего математического ожидания, то какой бы тесной ни была связь X и У, корреляционный момент К_ху будет мал. Поэтому для более объективной характеристики связи использу­ется безразмерная характеристика

(3.65)

называемая коэффициентом корреляции.

Для независимых случайных величин r_ху = 0 (так как К_ху = 0). Случайные величины, для которых r_ху = 0, называются некоррелированными. Из независимости случайных величин следует их некоррелированность. Из некоррелированности случайных величин их независимость не следует. В случае, если r_xy > 0, говорят о положительной корреляции, если r_ху < 0—об отрицательной. Положительная корреляция между случайными величинами озна­чает, что при возрастании одной из них другая имеет тенденцию к возрастанию; отрицательная корреляция означает, что при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенденцию к убыванию.