3.1.5. Свойства числовых характеристик случайных величин

Рассмотрим основные свойства числовых характеристик, используемые в расчетах.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой этой величине.

Действительно, постоянная величина с может рассматриваться как частный вид случайной величины при одном возможном значении с ве­роятностью р = 1. Но тогда по формуле математического ожидания (3.20)

(3.41)

2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, т. е.

(3.42)

Приведем доказательство этого положения для дискретных случайных величин используя формулу математического ожидания (3.20)

3. Математическое ожидание суммы ряда случайных независи­мых величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.

(3.43)

Докажем это свойство для двух случайных величин X и Y.

где ζ_j и ξ_i — возможные значения случайных величин X и Y.

Отсюда, так как р_ji— вероятность совместного появления величин ζ_j и ξ_i;, получаем и

Аналогично методом полной индукции можно доказать соотно­шение (3.37) для произвольного числа слагаемых.

4. Математическое ожидание линейной функции нескольких случайных величин равно той же линейной функции от математи­ческих ожиданий аргументов, т. е.

(3.44)

Докажем это предположение на основе первых трех свойств математического ожидания

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т. е.

(3. 45)

Докажем это свойство для двух дискретных случайных вели­чин X и У

где p_ij — вероятность совместного появления ζ_j и ξ_i, равная для независимых случайных величин произведению p_ip_j. Исходя из этого

Отсюда методом полной индукции можно получить формулу произведения математических ожиданий и для произвольного числа независимых случайных величин.

Свойства дисперсии случайных величин

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т. е.

(3. 46)

Доказательство: так как математическое ожидание с (см. первое свойство математического ожидания) равно с, то

2. Постоянную величину можно выносить за знак дисперсии, возведя ее в квадрат, т. е.

(3.47)

Доказательство:

Отсюда же следует, что

(3.48)

т. е, постоянную величину можно выносить за знак среднего квадратического отклонения,

3. Дисперсия суммы случайных независимых величин равна сумме дисперсий слагаемых:

(3.49)

Докажем это положение для двух случайных величин X и Y:

Так как X и Y независимы, то

и

(3.50)

4. Дисперсия линейной функции нескольких независимых случайных величин выражается формулой

(3.51)

Для доказательства используем формулу дисперсии суммы случайных независимых величин

3.1.6. Нормированная (стандартизованная) случайная величина

Во многих практических задачах, например, при сопоставле­нии асимметричности рядов стока и их законов распределения, формализованной записи того или иного ряда распределения тре­буется освободиться от влияния среднего значения т_х и среднего квадратического отклонения σ_х. Это достигается нормированием значений случайной величины.

Нормированной случайной величиной называется переменная вида

(3. 52)

Если X существенно положительно (X ≥ 0) то, разделив чис­литель и знаменатель на т_х, получим

(3.53)

где k_i=x_i/m_x — модульный коэффициент.

Последовательность нормированных случайных величин обла­дает рядом замечательных свойств.

1. Математическое ожидание нормированной случайной величины равно 0, т. е. m [t] = 0. Действительно

(3.54)

2. Дисперсия нормированной случайной величины равна еди­нице, т. е. D_t =1. Действительно

(3.55)

3. Если X — нормально распределенная случайная величина с параметрами т_х и σ², то нормированная случайная величина Т, представленное значениями t_i (i= 1,2, ..., N), также распределена нормально и имеет параметры 0 и 1.