Лекция №5 (продолжение)

§7. Скалярное произведение векторов

I. Определение

def. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

. (1)

Придадим (1) другой вид (по свойству 1 проекций).

 проекция на ось, определяемую .

 проекция на ось, определяемую .

. (2)

II. Свойства скалярного произведения

1. Коммутативность умножения: .

Доказательство. Справедливость утверждения непосредственно следует из определения скалярного произведения.

2. Ассоциативность относительно скалярного множителя:

.

Доказательство.

1. Пусть Тогда

2) Доказать самостоятельно.

3. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

Доказательство.

Пример 7.1. Векторы и образуют угол Зная, что вычислить

4. Условие перпендикулярности векторов

По определению , если или , или , т.е. . Пусть и – ненулевые векторы. Тогда

.

Итак, для того, чтобы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

Пример 7.2. При каком значении векторы и ортогональны, если ? Ответ:

III. Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Даны два вектора = a_x + a_y + a_z и = b_x + b_y + b_z . Найти .

Найдем предварительно скалярное произведение ортов.

Тогда

 скалярное произведение векторов, заданных координатами.

Если , то условие перпендикулярности векторов, заданных координатами.

Пример 7.3. При каком значении c векторы и взаимно перпендикулярны.

IV. Угол между векторами в пространстве

По определению , значит

.

Если векторы заданы координатами, т. е. = a_x + a_y + a_z и = b_x + b_y + b_z , то

.

Пример 7.4. Даны вершины четырехугольника А (1, 2, 2), В (1, 4, 0), С (4, 1, 1),

D (5, 5, 3). Вычислить угол между его диагоналями. Ответ:

V. Приложение скалярного произведения к механике

Если материальна точка, на которую действует сила совершает перемещение по вектору , то работа А равна скалярному произведению и .

.

Пример 7.5. Вычислить работу равнодействующей сил

приложенных к материальной точке, которая под их воздействием перемещается прямолинейно из т. М₁ (4, 2, 3) в т. М₂ (7, 4, 1).

Решение. ,



§8. Векторное произведение векторов

1. Определение

def. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется следующим образом:

1. модуль вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах

2) вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т. е.

3) направление вектора таково, что если смотреть с его конца (вдоль вектора), то поворот по кратчайшему пути от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки.

( ориентированы как  прав. тройка).

Обозначается: или .

Частные случаи: