1. Построение математической модели

Обозначим искомое число шкафов через х₁, а число кроватей – через х₂.

Тогда зависимость полной прибыли от х₁ и х₂ (ЦФ задачи) запишется в виде

Z = 3,7x₁ + 4x₂  max (7.4)

Допустимые значения х1 и х2 ограничены располагаемыми объемами ресурсов. Обивочная ткань используется только на производство кроватей, причем, на каждую кровать требуется 3,3 м² ткани. Следовательно, ограничение по ткани надо записать так

3,3х₂  396. (7.5)

То есть общее количество обивочной ткани, необходимое на производство х² кроватей, не должно превышать имеющегося – 396 м². Аналогично можно записать ограничения для других ресурсов

0,06х₁ + 0,1х₂  14,4 (7.6)

(количество пиломатериалов, затрачиваемых на производство х₁ шкафов и х₂ кроватей, не должно превышать имеющихся 14,4 м³),

5x₁ + 4x₂  810 (7.7)

(количество станко-смен оборудования, необходимое на производство х₁ шкафов и х₂ кроватей, не должно превышать их ресурса, равного 810 станко-сменам),

2,5x₁  325 (7.8)

(количество плитных материалов, нужное для производства х₁ шкафов, не должно превышать выделенных для производства 325 м². По условиям задачи плита не используется на производство кроватей и, следовательно, (7.8) не зависит от х₂).

Каждый из рассматриваемых видов мебели может производиться в определенных количествах или не производиться вовсе. Следовательно, можно записать

х₁  0; х₂  0 (7.9)

Итак, математическая модель задачи поиска оптимального по прибыли плана выпуска двух видов мебели в виде модели линейного программирования составлена. Это соотношения (7.4) – (7.9). Задачу теперь можно сформулировать так: найти такие неотрицательные значения переменных х₁ и х₂, которые удовлетворяют линейным ограничениям – неравенствам (7.5) – (7.9) и обеспечивают максимальное значение ЦФ (7.4).

2. Составить оптимальный по прибыли план выпуска продукции c помощью Excel

В общем виде математическая модель задачи запишется так

Z = 3,7x₁+4x₂max

• Разместите на рабочем листе Excel исходные данные, каждой переменной и каждому коэффициенту задачи ставится в соответствие конкретная ячейка (выделенная рамкой):

• ячейки С4:С5 – изменяемые ячейки, в которые записываются некоторые начальные значения (в данном примере 1) ;

• расход ресурсов на единицу изделия помещен в ячейках D4:G5;

• объем ресурсов – в ячейках D7:G7;

• прибыль на единицу изделия – в ячейках I4:I5;

• ячейка J8 выбрана в качестве целевой ячейки, содержащей формулу =СУММ(J4:J5) ;

• в ячейки J4: введите формулу =I4*С4;

• в ячейки J5 введите формулу =I5*С5;

• расход ресурсов (ячейки D4:G5) связан с изменяемыми ячейками формулами, помещенными во влияющие ячейки D8:G8 соответственно:

D8	=D4*C4+D5*C5;
Е8	= E4*C4+E5*C5;
F8	=F4*C4+F5*C5;
G8	=G4*C4+G5*C5,

Остаток заносится в ячейки C9:G9

D9	=D7-D8
E9	=E7-E8
F9	=F7-F8
G9	=G7-G8

В режиме отображения формул таблица примет вид

В нормальном режиме таблица будет иметь вид:

• Установление пакета статистического анализа данных и поиска решения.

Для дальнейшего решения нам понадобится процедура «Поиск решения». Перейдите на закладку Данные если отсутствует группа «Анализ»/Поиск решений, необходимо установить пакеты статистического анализа данных и поиска решения.

Для этого:

• нажмите кнопку Microsoft Office ;

• в появившемся диалоговом окне нажмите кнопку Параметры Excel ;

• в окне «Параметры Excel»перейдите на вкладке «Настройка»;

• в раскрывающемся списке «выбрать команды из» выберите Все команды;

• прокрутив полосу прокрутки выберите команду «надстройки»;

• нажмите на кнопку «Добавить»;

• нажмите ОК;

• на панели быстрого доступа добавиться кнопка «надстройки»

• нажмите на эту кнопку и в появившемся диалоговом окне поставьте флажок напротив надписи «Поиск решений»;

• нажмите ОК;

• на ленте на вкладке Данные появится группа Анализ и кнопка «Поиск решений».

• Поиск оптимального решения

Перейдите на закладку Данные /Анализ нажмите кнопку «Поиск решений»

Появится диалоговое окно поиска решений

• В поле Установить целевую записывается ссылка на ячейку, содержащую формулу с целевой функцией.-J8.

• В группе переключателей Равной указывается направление оптимизации ЦФ.- максимальному значению.

• В поле Изменяемые ячейки- $C$4:$C$5 указываются ячейки, изменением которых достигается экстремальное значение целевой ячейки. Они должны содержать какие–либо допустимые значения элементов решения оптимизационной задачи и быть связаны формулой листа (целевой функцией), помещаемой в целевую- ячейку. В итоге процедура поиска решения сводится к определению значений изменяемых ячеек.

• Внесите ограничения. Для этого нажмите кнопку Добавить.

• При этом вызывается диалоговое окно Добавление ограничения;

• Поле Ссылка на ячейку служит для указания ячейки или диапазона, на значения которых необходимо наложить ограничение.

Внесите- $C$4:$C$5.

• Поле Ограничение служит для задания условия, которое накладывается на значения ячейки или диапазона, указанного в поле Ссылка на ячейку.

Внесите Ограничение 0.

• Для задания условия необходимо выбрать условный оператор (<=, =, >= или “цел”) и ввести ограничение: число, формулу, ссылку на ячейку или диапазон ячеек в поле справа от раскрывающегося списка условных операторов.

В нашем случае >=.

• Нажмите кнопку Добавить это позволяет наложить новое условие на поиск решения задачи, не возвращаясь в окно диалога Поиск решения.

• Внесите второе ограничение.

• $D$8:$G$8<= $D$7:$G$7.

• Кнопка Параметры вызывает диалоговое окно Параметры поиска решения (рис. 6.2), в котором можно изменять условия и варианты поиска решения для линейных и нелинейных задач, а также загружать и сохранять оптимизируемые модели. Значения и состояния элементов управления, используемые по умолчанию, подходят для решения большинства задач.

• Поле Максимальное время служит для ограничения времени, отпускаемого на поиск решения задачи. Значение 100 секунд, используемое по умолчанию, подходит для решения большинства простых задач.

• Поле Предельное число итераций управляет временем решения задачи, путем ограничения числа промежуточных вычислений. Значение, используемое по умолчанию (100), подходит для решения большинства простых задач.

Рис. 6.2

• Ваше диалоговое окно примет вид

• Поиск решения осуществляется при нажатии кнопки Выполнить окна Поиск решения.

Одновременно с нахождением оптимального решения процедура «Поиск решения» выводит на экран окно итогового сообщения о результатах поиска решения, которое в случае успешного поиска решения имеет вид, показанный на рис

Поле Сохранить найденное решение служит для сохранения найденного решения в целевой, изменяемых и влияющих ячейках модели.

Поле Восстановить исходные значения служит для восстановления

исходных значений целевой, изменяемых и влияющих ячеек модели. Кнопка Сохранить сценарий служит для отображения окна диалога Сохранение сценария, в котором можно сохранить сценарий решения задачи, чтобы использовать его в дальнейшем с помощью диспетчера сценариев Microsoft Excel.

Поле Тип отчета служит для указания типа отчета, размещаемого на отдельном листе книги Excel. В этом поле можно пометить любые (или все) из предлагаемых типов отчетов, которые будут созданы по выходе из окна Результаты поиска решения:

Тип Результаты используется для создания отчета, состоящего из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их исходных и конечных значений, а также формул ограничений и дополнительных сведений о наложенных ограничениях.

Тип Устойчивость используется для создания отчета, содержащего сведения о чувствительности решения к малым изменениям в формуле модели или в формулах ограничений.

Тип Пределы используется для создания отчета, состоящего из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их значений, а также нижних и верхних границ.

• нажмите ОК.

• Сравните результаты решения задачи оптимизации плана выпуска продукции.

Таким образом, мы должны производить шкафов – 90, кроватей – 90, единиц и тогда прибыль составит 693.