1.7 Циркуляция скорости. Вихрь векторного поля. Векторная формулировка теоремы Стокса

Циркуляция векторного поля. В векторном поле возьмем некоторую кривую (рис. 1.2) и разобьем ее с помощью точек на малые участки . Составим сумму , где - значение вектора поля в какой-то точке участка . Предел этой суммы, если он существует при неограниченном возрастании числа элементов и убывании до нуля длины всех элементов, называется криволинейным интегралом вдоль и обозначается

.

Здесь направлен в каждой точке кривой по касательной, а его модуль равен дифференциалу дуги кривой:

.

Особый интерес представляют криволинейные интегралы, которые берутся по замкнутому контуру

. (1.12)

З

Рисунок 1.2 – К понятию криволинейного интеграла

десь - направленный элемент контура, т. е. ( - орт касательной, - дифференциал дуги контура).

Интеграл (1.12) называется циркуляцией вектора и в данном случае - циркуляцией вектора скорости по контуру .

Если вектор представляет силу, то циркуляция этого вектора по любому замкнутому пути дает работу силы при перемещении материальной частицы по этому пути.

Понятие циркуляции вектора связано с понятием так называемого вихря вектора (скоро мы это увидим).

Наряду с дивергенцией вектора важное значение имеет другая дифференциальная характеристика векторного поля - ротор вектора , или вихрь вектора . Вихрем векторного поля в точке называется, обозначаемый знаком , вектор

. (1.13)

Легко убедиться, что может быть получен как результат векторного умножения символического оператора Гамильтона на вектор , т. е.

.

Для интерпретации понятия обратимся к известной из математического анализа теореме Стокса.

Если функции и , , , , , непрерывны на поверхности в замкнутом контуре , который является границей , то

.

Пусть векторное поле имеет компоненты , , , тогда формула Стокса примет вид

.

С учетом (1.12) и (1.13) можем записать

. (1.14)

В таком виде формула, выражающая теорему Стокса, нашла широкое применение. Сама же теорема Стокса, исходя из последней записи, может быть сформулирована так:

поток вихря векторного поля через поверхность , ограниченную замкнутым контуром , равен циркуляции вектора по этому контуру, если компоненты поля вместе с их частными производными непрерывны на поверхности и на контуре .

Формула Стокса позволяет дать инвариантное (независимое от системы координат) определение вихря векторного поля. В области определения возьмем произвольную точку и затем содержащую эту точку плоскую площадку , ограниченную контуром и перпендикулярную произвольно выбранному направлению . Запишем очевидное равенство

,

вычтем его из (1.14) и разделим на . Тогда получим

.

При стягивании в точку правая часть, как видно из ее оценки, стремится к нулю. Следовательно,

(1.15)

при стягивании в точку .

Это выражение может служить определением проекции вектора на любое направление . Здесь следует отметить соответствие положительного направления направлению обхода контура , а именно: направление обхода контура и положительное направление подчиняются правилу правого винта (для наблюдателей из вершины обход контура совершается против часовой стрелки).

Итак, проекция на какое-либо направление в каждой точке поля равна пределу отношения циркуляции по границе плоской площадки, проходящей через эту точку, перпендикулярно к , к площади этой площадки, когда граница площадки стягивается к рассматриваемой точке.

Те точки поля, в которых вихрь не равен нулю, называются вихревыми. Они могут образовывать целые области - вихревые линии, трубки.

Можно показать, что вихрь поля скоростей вращающегося твердого тела равен удвоенной угловой скорости вращения.

Действительно, как известно, поле скоростей твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, имеет вид: , где - мгновенная угловая скорость. Вычислим . Для проекции на ось , учитывая, что не зависит от координат, имеем

.

Аналогично,

, .

Следовательно,

.