1.6 Дивергенция поля скорости. Векторная формулировка теоремы Гаусса-Остроградского
Как мы выяснили выше, величина потока вектора через замкнутую поверхность позволяет некоторым образом оценить поведение поля в области, ограниченной этой поверхностью. Однако такая оценка для конечной области может оказаться весьма приближенной. Например, равенство нулю потока скорости среды может означать или отсутствие внутри объема, ограниченного ею, источников-стоков, или наличие истоков и стоков равной мощности, или, по крайней мере, наличие такого распределения источников и стоков, что их общая мощность равна нулю.
В связи с этим оказывается удобным ввести в рассмотрение локальную, точечную характеристику распределения источников и стоков в данном поле сплошной среды, так называемую дивергенцию (лат. - расходимость) скорости.
Дивергенцией
векторного поля (в данном случае поля
скорости
)
в точке
называется скаляр
,
обозначаемый символом
.
Таким образом,
= . (1.9)
С использованием оператора Гамильтона можно записать в виде формулы
.
Таким образом, в этом случае применение оператора к вектору означает скалярное умножение символического оператора на данный вектор .
Для интерпретации понятия обратимся к известной из математического анализа теореме Остроградского.
Если
функции
,
,
и
,
,
непрерывны внутри объема
и на замкнутой поверхности
,
ограничивающей
,
то
.
Пусть
векторное поле
имеет компоненты
,
,
,
тогда формула Остроградского примет
следующий вид:
.
Тогда с учетом (1.8) и (1.9), можем записать
.
(1.10)
В таком виде формула Остроградского имеет широкое применение.
Таким образом, теорема Остроградского может быть сформулирована так:
интеграл по объему от дивергенции векторного поля равен потоку поля через поверхность, ограничивающую этот объем, если компоненты поля вместе с их частными производными непрерывны в объеме и на поверхности.
Формула Остроградского позволяет дать инвариантное (независимое от системы координат) определение дивергенции векторного поля. В области определения возьмем произвольную точку и затем содержащий эту точку объем , ограниченный поверхностью . Запишем очевидное равенство
и вычтем его из (1.10), деля на , получим
.
При стягивании в точку правая часть, как видно из теоремы о среднем для тройных интегралов, стремится к нулю. Следовательно,
(1.11)
при стягивании в точку .
Таким образом, дивергенция векторного поля в какой-нибудь точке равна отнесенному к единице объема потоку векторного поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую данную точку.
Точки, в которых дивергенция положительна, называются источниками ( в этом случае поток векторного поля через малую поверхность, окружающую такую точку, положителен). Точки, в которых дивергенция отрицательна, называются стоками.
Рассмотрим
стационарное поле скорости сплошной
среды. Выберем в нем некоторую точку
и
окружим ее поверхностью
,
ограничивающую объем
.
Если поток скорости через эту поверхность
положителен и, следовательно,
>0,
то это значит, что из области
через
вытекло сплошной среды по объему больше,
чем вошло. Если в
нет ни источников, ни стоков, то тогда
мы должны заключить, что в области
происходит расширение среды, т. е.
уменьшение ее плотности. Величина
характеризует в среднем это объемное
расширение сплошной среды в области
в единицу времени, т. е. она представляет
собой среднюю скорость объемного
расширения (или сжатия, если она
отрицательна) сплошной среды в области
.
Следовательно, предел
,
если
он существует, характеризует скорость
изменения объема сплошной среды в точке
.
Это означает, что если частица среды в
точке
имела объем
,
то через единицу времени ее объем будет
,
причем
.
Естественно,
что в поле течения несжимаемой сплошной
среды, лишенной источников и стоков, в
каждой точке
.