1.5 Линии тока и трубки тока. Поток вектора скорости

Геометрической характеристикой векторного поля могут служить векторные линии. Выясним смысл этого понятия на примере векторных линий поля скорости, которые называются линиями тока.

Линии тока представляют собой линии, в каждой точке которых касательная совпадает с вектором скорости. Линии тока в общем случае имеют различный вид в разные моменты времени; в случае стационарного поля скоростей, т. е. когда движение установившееся, линии тока имеют неизменный вид и представляют траектории точек сплошной среды.

Если задано поле скорости , то, по определению линии тока, ее элемент , направленный по касательной, коллинеарен с вектором в данной точке, т. е.

.

Это есть векторная форма дифференциального уравнения линий тока. Отсюда, учитывая пропорциональность компонент коллинеарных векторов, получим в декартовой системе координат

.

Проинтегрировав эту систему двух дифференциальных уравнений, получим семейство линий тока.

В случае нестационарного поля скорости дифференциальное уравнение линий тока имеет аналогичный вид: при этом время надо рассматривать как фиксированный параметр, определяющий в каждый момент времени вид семейства линий тока.

Если в некоторой точке, то через нее проходит одна и только одна линия тока, касательная к которой в данной точке имеет определенное направление, т. е. совпадает по направлению с вектором скорости; уравнение какой-либо линии тока выделяется из семейства определением постоянных интегрирования из условия прохождения через данную точку.

Если в какой-то точке (все знаменатели в последнем уравнении обращаются в нуль), то направление линии тока в этой точке становится неопределенным; через эту точку может проходить бесконечное множество линий, может и не проходить ни одной. Такие точки являются особыми точками приведенной выше системы дифференциальных уравнений.

Линии тока могут дать некоторые сведения о структуре поля скоростей. Более существенны дифференциальные характеристики векторного поля скоростей (и вообще векторного поля), которые мы рассмотрим несколько позже.

Через каждую точку произвольной кривой можно провести линию тока. При этом, если не является линией тока, образуется поверхность, в каждой точке которой скорость лежит в касательной плоскости. Эта поверхность называется поверхностью тока. Аналогично построенная поверхность для произвольного векторного поля называется векторной поверхностью.

Если кривая замкнутая, то совокупность проведенных через ее точки линий тока образует трубку тока. В случае произвольного векторного поля аналогично построенная трубка носит название векторной трубки.

Поток векторного поля скорости. Пусть двухсторонняя и кусочно-гладкая поверхность , замкнутая или незамкнутая, помещена в стационарное поле скоростей сплошной среды. Рассмотрим ее элемент и определим в некоторой точке этого элемента положительный орт нормали и вектор поля скорости . Потоком векторного поля скорости через элемент называется величина

.

Потоком векторного поля скорости через всю поверхность называется поверхностный интеграл

.

Этот интеграл определяется как для замкнутой, так и для незамкнутой поверхности . Поверхностный интеграл понимается как сумма соответствующих интегралов по гладким кускам, составляющих поверхность. Скалярное произведение выражает проекцию вектора поля на положительное направление нормали. Понятие потока поля определено независимо от системы координат, в системе декартовых координат поток может быть записан в форме

. (1.8)

Легко видеть, что поток через поверхность (замкнутую или незамкнутую) численно равен объему сплошной среды, протекающей в единицу времени через эту поверхность, т. е.

.

Величина положительна, если и образуют острый угол, и отрицательна, если эти два вектора образуют тупой угол. Следовательно, представляет собой избыток среды, протекающей в сторону положительной нормали , а не абсолютное количество среды, прошедшей через независимо от направления течения.

В связи с этим особо отметим случай замкнутой поверхности , ограничивающий некоторый объем . Условимся всегда направлять во внешнюю часть пространства так, что движение среды в сторону положительной нормали означает вытекание из объема , а в сторону - втекание. Тогда величина потока , вычисленная для замкнутой поверхности, даст разницу между средой, вытекающей из объема, ограниченной этой поверхностью, и средой, поступающей в этот объем. Равенство нулю потока скорости среды через замкнутую поверхность означает, следовательно, что в объем втекает среды столько, сколько и вытекает. Если поток положителен, то в объеме есть источники, т.е. такие места, где среда как-то создается (например, трубочки, из которых выбрасывается дополнительно среда). Если поток отрицателен, то в объеме есть стоки, где среда как-то “уничтожается” (испаряется).

Если среда сжимаема, то есть плотность , то роль источников для потока скорости могут выполнять места разрежения, уменьшения плотности, а роль стоков - места уплотнения, увеличения плотности. Действительно, поскольку масса среды остается неизменной и уменьшение плотности означает увеличение объема, то из мест разрежения появится дополнительный поток среды, увеличивающий ее скорость.

Таким образом, величина потока вектора через замкнутую поверхность позволяет некоторым образом оценить поведение поля в области, ограниченной этой поверхностью.