1.3 Скалярные и векторные поля

При изучении движения сплошной среды в переменных Эйлера необходимо вводить в рассмотрение скалярные и векторные величины: температуру , скорость и другие. В выбранной системе координат можно выделить некоторую конечную или бесконечную область и каждой точке этой области поставить в соответствие число, например температуру , или вектор, например скорость , или, как увидим позднее, еще другие, более сложные характеристики.

Совокупность значений той или иной величины, заданных в каждой точке рассматриваемой области, называется полем этой величины. Если рассматриваемая величина - скаляр, т. е. число, значение которого в данной точке не зависит от выбора системы координат, то поле называется скалярным. Примерами скалярных полей могут служить поле температур, поле плотностей и др. Если же рассматриваемая величина - вектор, как, например, скорость, ускорение, то поле называется векторным.

Поля, которые меняются с течением времени называются нестационарными (неустановившимися). Характеристики таких полей являются функциями точки и времени: , и т. п.

Если значения той или иной величины во всех точках рассматриваемой области одинаковы, то говорят об однородном поле: , и т. п.

Ниже нам предстоит рассмотреть характеристики скалярных и векторных полей.

1.4 Скалярное поле и его характеристики

Геометрической характеристикой скалярного поля являются поверхности уровня.

Рассмотрим скалярное поле некоторой величины в системе декартовых координат, так что .

Те точки, для которых скаляр принимает некоторое одинаковое значение образуют поверхность .

Такая поверхность носит название поверхности уровня или изоповерхности.

Придавая различные значения , мы получим набор, семейство поверхностей, на каждой из которых скаляр принимает постоянное значение.

Семейство поверхностей уровня в некоторой степени наглядно характеризует скалярное поле. Места сближения изоповерхностей указывают на быстрое изменение здесь функции в поперечном направлении.

Изоповерхности для однозначного поля не пересекаются, ибо в этом случае в точках пересечения функция имела бы несколько значений, что невозможно.

Наиболее существенной характеристикой скалярного поля является дифференциальная его характеристика - градиент скалярного поля.

Выбрав на поверхности уровня некоторую точку , можно изучить, как будет меняться поле в зависимости от направления, по которому можно выходить из этой точки.

Средняя быстрота изменения поля при смещении из точки в по некоторому направлению, определяемому ортом , характеризуется отношением

,

где - величина смещения по направлению (рис. 1.1).

Предел этого отношения, если он существует, когда точка приближается по прямой к , называется производной от в точке по направлению и обозначается :

.

Учитывая, что для заданного значения имеет место формула (рис. 1.1), получим

, (1.6)

г

Рисунок 1.1 – Поверхности уровня скалярного поля

де - производная от по направлению нормали к поверхности. Ясно, что наибольшее значение производной достигается в направлении нормали (в этом случае ).

Введем в рассмотрение вектор, направленный по нормали в сторону роста и равный по величине . Назовем этот вектор градиентом скалярного поля и обозначим его :

,

где - единичный вектор нормали.

Проектируя его на направление, определяемое ортом и учитывая (1.6), получим

. (1.7)

В частности, проекциями градиента на оси декартовой системы координат будут:

, , ,

тогда

.

Выражение (1.7) можно записать в следующем виде:

.

Следовательно, производная по направлению равна проекции вектора градиента на это направление.

Таким образом, если в точке поля определен , то всегда можно найти быстроту изменения поля вдоль любого заданного направления. Поэтому говорят, что является мерой неоднородности скалярного поля .

Для построения над функцией надо проделать ряд операций: взять частные производные от , умножить на соответствующие орты и сложить, тогда получим . Обычно совокупность этих операций обозначают одним символом (набла), который в прямоугольных декартовых координатах имеет такой вид (мы его уже использовали для компактной записи конвективного ускорения):

.

Будучи применен к скаляру , этот оператор дает векторное поле градиента .