1.2 Ускорение частицы сплошной среды
Если
распределение скоростей задано с точки
зрения Лагранжа:
,
то подсчитать ускорение
частицы сплошной среды очень просто.
Оно будет равно производной
.
Ускорение
,
как и скорость
,
вычисляется для индивидуальной точки
сплошной среды, т. е. при фиксированных
.
Рассмотрим как определить ту же величину (ускорение точек движущейся среды), если скорость задана в переменных Эйлера .
Очевидно, для этого надо перейти от переменных Эйлера к переменным Лагранжа:
и воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции. Тогда
,
или, замечая, что производные по времени от координат движущейся точки равны проекциям скорости на оси координат:
,
,
,
получим следующее выражение вектора ускорения в переменных Эйлера:
.
Проектируя на оси координат, будем иметь:
,
,
.
Для
представления ускорения в компактной
форме введем в рассмотрение оператор
Гамильтона
(набла), определяемый формулой
.
Рассматривая
формально как вектор с проекциями
,
,
и вспоминая, что скалярное произведений
двух векторов есть сумма произведений
их одноименных проекций, ускорение
можно представить в следующей векторной
записи:
,
где
рассматривается
как скалярное произведение векторов
и
.
Выражение, стоящее справа в последней формуле, можно рассматривать как результат применения к вектору скорости оператора индивидуальной производной по времени:
.
Рассмотрим кинематический смысл каждого из двух слагаемых в правой части этого оператора.
Первое
слагаемое
выражает изменение со временем при
фиксированных координатах, т. е. местное,
локальное изменение, и поэтому называется
локальной
производной.
Такая локальная производная от физической
величины может быть отлична от нуля
только в том случае, когда поле
рассматриваемой физической величины
не стационарно.
Второе слагаемое образуется за счет изменения координат точки, соответствующего передвижению (конвекции) ее в поле дифференцируемой физической величины. Вот почему это слагаемое в выражении индивидуальной производной носит наименование конвективной производной. В отличие от локальной производной, определяющей, как только что было отмечено, нестационарность поля физической величины в данной точке пространства, конвективная производная характеризует неоднородность поля этой величины в данный момент времени.
Сообразно
с введенным разложением индивидуальной
производной по времени на локальную и
конвективную части назовем первое
слагаемое
ускорения локальной составляющей
ускорения или, короче, локальным
ускорением,
второе слагаемое
- конвективной
составляющей ускорения или конвективным
ускорением.
Локальное ускорение равно нулю в любой момент времени, если поле скоростей стационарно. Локальное ускорение может обращаться в нуль в тот момент, когда в данной точке скорость достигает максимального или минимального значения по времени.
Конвективное ускорение равно нулю в любой момент времени, если поле меняется со временем одинаково во всех своих точках, оставаясь при этом однородным. Конвективное ускорение может обращаться в нуль на мгновение, если в этот момент поле скоростей однородно (например, в начале движения тела в неподвижной жидкости).
Остановимся
на частном случае, когда вектор смещения
точек сплошной среды мал. При этом
скорость отдельных точек сплошной среды
также будет мала. Предположив, что будут
малы и производные вида
,
,
,
получим, что член
будет второго порядка малости, и им
можно пренебречь. Следовательно, в этом
случае вектор ускорения в переменных
Эйлера будет иметь упрощенный вид
или
,
,
.
Это весьма важный случай, ибо малые смещения характерны для движения упругих тел.