1 Кинематика сплошной среды

Часть механики, в которой рассматриваются общие свойства движения сред без выяснения причин его возникновения, называется кинематикой.

В отличие от теоретической механики, в которой изучается движение абсолютно твердого тела, а также движение отдельной точки или системы точек с фиксированным расстоянием между ними, в кинематике сплошных сред изучается движение деформируемых тел. В процессе движения таких тел изменяется первоначальная их форма и расстояние между частицами. Деформируемость является главной кинематической особенностью сплошных сред.

Таким образом, кинематика сплошных сред изучает геометрию движения жидких, газообразных и деформируемых твердых тел, имеющих одно общее свойство - сплошность или непрерывность среды.

Существует две точки зрения на изучение движения среды. По одной из них, называемой точкой зрения Лагранжа, изучают движение в пространстве каждой индивидуальной частицы, по другой, называемый точкой зрения Эйлера, изучают движение, происходящее в каждой точке пространства в любой момент времени, а поведением отдельных частиц не интересуются.

1.1 Точки зрения Лагранжа и Эйлера на изучение движения сплошной среды

Точка движется относительно системы координат , если ее координаты меняются в зависимости от времени:

, , или (1.1)

где - радиус-вектор точки в выбранной системе координат, - координаты точки.

Движущаяся точка в разные моменты времени отождествляется с разными точками пространства. Движение точки известно, если известны функции (1.1), называемые законом движения точки. Если частицу сплошной среды рассматривать как материальную точку, то последние уравнения опишут ее движение.

Сплошная среда, непрерывным образом заполняющая пространство или часть его, состоит из бесчисленного числа точек. По определению знать движение сплошной среды - это значит знать движение всех ее точек. Чтобы описать движение всех точек среды при помощи уравнений (1.1), необходимо ввести в них параметры, характеризующие ту или иную точку среды. Пусть параметром, характеризующим отдельную точку среды, будет постоянный вектор, задающий значения ее начальных координат:

.

Для любой точки континуума, выделяемой координатами можно написать закон движения, в который входят функции уже не одной, как в случае движения точки, а четырех переменных - начальных координат и времени :

; (1.2)

, , .

Если в (1.2) будут фиксированы, а - переменным, то (1.2) дадут закон движения одной фиксированной точки континуума. Если будут переменными, а - фиксированным, то функции (1.2) дадут распределение точек континуума в пространстве в данный момент времени. Если переменными будут и , то на (1.2) можно смотреть как на формулы, определяющие движение сплошной среды, и по определению функции (1.2) называются законом движения континуума.

Координаты , индивидуализирующие точки континуума, и время называются переменными Лагранжа.

Функция будет являться непрерывной по и иметь непрерывные первые и, как правило, вторые производные по времени. Кроме того, эта функция в силу того, что она описывает упорядоченные движения сплошной среды, должна быть непрерывной по и должна иметь непрерывные частные производные по .

Чтобы найти скорость и ускорение какой-либо точки среды (характеризуемой ), необходимо взять производные по времени от уравнений (1.2), полагая, что или постоянны. Запишем векторы скорости и ускорения в виде

, . (1.3)

Соответственно проекции этих векторов на оси координат будут:

, , ;

, , .

Полагая, что определяет начальное положение точки, введем вектор

,

который определяется по формуле

.

Отсюда

.

Вектор характеризует перемещение точки по отношению к ее начальному положению и называется вектором перемещения. Вектор , а также его проекции являются функциями . В начальный момент времени при .

Используя последнюю формулу, запишем скорость и ускорение точек сплошной среды через вектор перемещения в виде:

, .

Предположим теперь, что нас интересует не история движения индивидуальных точек сплошной среды, а то, что происходит в разные моменты времени в данной геометрической точке пространства, связанного с системой отсчета наблюдателя. Пусть наше внимание концентрируется на данной точке пространства, в которую приходят разные частицы сплошной среды. Это и составляет сущность точки зрения Эйлера на изучение движения сплошной среды. Например, движение воды в реке можно изучать, либо следуя за движением каждой частицы воды от верховьев реки до ее устья (это будет точка зрения Лагранжа), либо наблюдая изменение течения воды в определенных местах реки, не прослеживая движение отдельных частиц воды вдоль всей реки (это точка зрения Эйлера).

Точка зрения Эйлера весьма часто употребляется в приложениях. Геометрические координаты пространства и время носят название переменных Эйлера. Движение, с точки зрения Эйлера, считается известным, если скорость, ускорение, температура и другие интересующие величины заданы как функции и . Функции , , и т. д. при фиксированных и переменном определяют изменения со временем скорости, ускорения, температуры и т.д. в данной точке пространства для разных приходящих в эту точку частиц. При фиксированном и переменных эти функции дают распределения характеристик движения в пространстве в данный момент времени ; при переменных и - распределения характеристик движения в пространстве в разные моменты времени.

Таким образом, с точки зрения Лагранжа, мы интересуемся законами изменения скорости, ускорения, температуры и других величин для данной индивидуальной точки сплошной среды, а с точки зрения Эйлера - скоростью, ускорением, температурой и т.д. в данном месте. С точки зрения Эйлера, мы выделяем некоторую область пространства и хотим знать все данные о частицах, которые в нее приходят.

Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера. Закон движения сплошной среды имеет следующий вид:

, , , (1.4)

в котором независимые переменные являются переменными Лагранжа. Разрешив его относительно , получим:

, , , (1.5)

т. е. перейдем к переменным Эйлера. При фиксированных (1.5) указывают те точки сплошной среды, которые в разные моменты времени приходят в данную точку пространства. Если скорость, ускорение, температура

, ,

и другие величины заданы с точки зрения Лагранжа, т. е. как функции и , то (1.5) дают возможность найти скорость, ускорение, температуру и т. д. как функции переменных Эйлера и . Таким образом, если движение с точки зрения Лагранжа известно и его надо определить с точки зрения Эйлера, то для этого требуется только разрешить закон движения (1.4) относительно , т. е. записать его в виде (1.5); переход от движения, заданного по Лагранжу, к описанию движения по Эйлеру сводится к разрешению неявных функций.

Переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа. Наоборот, пусть с точки зрения Эйлера задано распределение скоростей в пространстве:

, , .

Как найти закон движения, т. е. перейти к описанию движения по Лагранжу?

Компоненты скорости , , являются производными от соответствующих координат по времени при постоянных параметрах , индивидуализирующих точку сплошной среды. Поэтому если , , заданы как функции переменных Эйлера и , то на соотношения

, ,

можно смотреть как на систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно . Решив эту систему, найдем как функции и трех произвольных постоянных , которые определяются по значениям в некоторый данный момент и, следовательно, являются параметрами, индивидуализирующими точку сплошной среды, - переменными Лагранжа. Таким образом, в результате решения этой системы дифференциальных уравнений находится закон движения (1.4), с помощью которого можно перейти от переменных Эйлера к переменным Лагранжа во всех формулах, определяющих распределения , и т. д.

Следовательно, переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа при заданном поле скоростей связан, вообще говоря, с интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений.