1.11 Вихревая линия и вихревая трубка. Теоремы о вихрях

Как следует из изложенного ранее, элементарный объем сплошной среды в квазитвердой части бесконечно малого перемещения непрерывно поворачивается как одно целое вокруг мгновенной оси, направление которой совпадает с направлением вектора вихря скорости, а угловая скорость мгновенного поворота равна по величине половине величины вихря скорости. Подчеркнем, что квазитвердое вращение элементарного объема представляет только часть общего движения, заключающего в себе еще деформационную составляющую. Вектор можно себе представить как угловую скорость воображаемого твердого тела, которое образовалось бы при мгновенном затвердевании рассматриваемого деформирующегося элементарного объема.

Введенное понятие вихря поля скорости позволяет разбить движение сплошных сред на два класса. К первому относятся движения, для которых выполняется условие

.

Такие движения называются безвихревыми, или потенциальными. При таком движении бесконечно малые объемы среды не имеют вращений, а совершают лишь поступательное движение, сопровождаемое непрерывной деформацией объемов. Условие является необходимым и достаточным условием того, что вектор есть градиент некоторой скалярной функции , носящей название потенциала скорости, т. е.

.

Так как вектор является функцией , то и потенциал скорости зависит от тех же переменных.

Ко второму классу движений сплошных сред относят такие, для которых

.

Эти движения называют вихревыми.

Рассмотрим вихревые движения. Пусть точки, в которых вектор отличен от нуля, сплошным образом заполняют некоторый объем. В этом случае можно говорить, что поле скоростей порождает поле вихрей, ибо каждой точке пространства будет соответствовать вектор . Так же, как и для поля скоростей, для поля вихрей введем понятие вихревых линий. Под последними будем понимать линии, касательные к которым в любой точке совпадают с направлением вектора вихря в данной точке. Согласно определению, дифференциальные уравнения вихревых линий будут

.

Проведя в сплошной среде некоторый контур и через все его точки вихревые линии, образуем вихревую поверхность. Часть среды, ограниченная вихревой поверхностью, проведенной через замкнутый контур, представляет вихревую трубку; если контур бесконечно мал, вихревая трубка будет элементарной.

Охарактеризуем вихревую трубку с количественной стороны. Для этого докажем следующую (вторую) теорему Гельмгольца: поток вектора вихря скорости сквозь произвольно проведенное сечение вихревой трубки одинаков в данный момент времени вдоль всей трубки.

С этой целью рассмотрим объем вихревой трубки , ограниченный двумя произвольными сечениями и . Согласно теореме Гаусса-Остроградского, записанной для вектора , имеем

,

так как , в чем легко убедиться. Учитывая, что интеграл по боковой поверхности вихревой трубки равен нулю, так как нормаль к боковой поверхности перпендикулярна вектору вихря, можем записать

.

Сохраняя направление нормали во втором слагаемом и изменяя направление на противоположное в первом слагаемом, чтобы иметь единообразное определение потока вектора вихря сквозь сечение трубки в направлении векторных линий, получим

,

что и доказывает теорему Гельмгольца. Из доказанного следует, что поток вихря сквозь любое сечение трубки является характерной величиной для трубки в целом и может быть принят за меру интенсивности трубки.

Применяя вторую теорему Гельмгольца к элементарной вихревой трубке, можем выбрать малые сечения и плоскими и нормальными к поверхности трубки, тогда с точностью до малых высших порядков будем иметь

.

Из этого равенства вытекает, что сечение трубки не может стать равным нулю, так как это привело бы к возрастанию до бесконечности угловой скорости вращения частиц в этом сечении. Отсюда следует известный опытный факт: вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости, они либо образуют замкнутые кольца, либо будут кончаться на границы среды.

Вторая теорема Гельмгольца представляет чисто кинематическую теорему, не связанную со специфическими свойствами среды или особенностями принятых ее моделей. Доказательство теоремы основывается лишь на общем свойстве сплошности среды. Вот почему выводы из этой теоремы хорошо отражают действительность.

Вихрь скорости, так же, как и угловая скорость частицы, не поддается непосредственному измерению приборами. Нельзя непосредственно мерить и интенсивность вихревой трубки. Однако существует другое более наглядное определение интенсивности вихревой трубки.

Применим теорему Стокса для вихревой трубки, выбрав в качестве кривой любой контур, расположенный на поверхности трубки и один раз охватывающий трубку. Тогда

,

где - площадь сечения трубки, ограниченного контуром . Таким образом, мы приходим к следующей теореме Стокса: интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, расположенному на поверхности трубки и один раз ее опоясывающему.

Теорема Стокса сводит, таким образом, количественное определение вихревой трубки к вычислению циркуляции скорости. Непосредственное измерение поля скоростей специальными приборами не представляет в настоящее время особых трудностей, и вычисление интеграла, определяющего циркуляцию, является операцией несравненно более точной, чем дифференцирование распределения скоростей и последующее суммирование, связанное с определением потока вихря. Вместе с тем понятие циркуляции является и более наглядным с физической стороны. Рассмотрим, например, следующее широко наблюдаемое явление. Жидкость вытекает из большого резервуара сквозь отверстие малого диаметра. Благодаря какой-то случайной причине жидкость в резервуаре получила слабое вращательное движение. При этом всю жидкость в сосуде можно рассматривать как вихревую трубку, выходящую сквозь отверстие в резервуаре. По теореме Гельмгольца интенсивность вихревой трубки, а следовательно, и циркуляция скорости по контуру, охватывающему трубку, одинаковы как вдалеке от отверстия, так и в плоскости самого отверстия. Замечая, что площадь сечения отверстия и периметр его неизмеримо малы по сравнению с размерами вихревой трубки вдалеке от отверстия, получим простое объяснение явления резкого закручивания струи при ее истечении из резервуара. При том же значении циркуляции абсолютные величины окружных скоростей тем больше, чем короче контур интегрирования.

Предположим, что в потоке имеется изолированная вихревая трубка конечных размеров, так что вне ее угловая скорость частиц равна нулю. В этом случае, очевидно, теорема Стокса будет верна не только для контура, расположенного на поверхности трубки, но и для любого другого, однократно охватывающего трубку контура.