1.9 Чистая деформация. Эллипсоид деформации
Чтобы
представить яснее характер движения,
названного чистой
деформацией,
допустим, что вращательная часть движения
отсутствует; тогда относительные
координаты некоторой точки частицы
сплошной среды
по истечении элемента времени
примут значения
,
,
.
Так
как
отличаются от
на величины бесконечно малые, то с
точностью до величин второго порядка
малости можно положить, что
,
,
,
откуда
,
,
(1.16)
.
Последние
формулы показывают, что точки малой
частицы сплошной среды, лежавшие в
момент
на сфере радиуса
:
,
перейдут
в момент
на поверхность второго порядка (вследствие
линейности предыдущих формул), которая
может быть только эллипсоидом, так как
в силу сплошности движения шаровая
поверхность может за бесконечно малый
элемент времени
претерпеть лишь бесконечно малое
изменение своей формы. Уравнение этого
эллипсоида с точностью до величин
второго порядка малости будет:
.
(1.17)
Последний эллипсоид носит название эллипсоида деформации, а его главные оси называются главными осями деформации.
Покажем, что точки частицы сплошной среды, лежавшие на главных осях деформации, остаются после деформации на тех же осях, испытывая лишь смещение вдоль этих осей. Для этого воспользуемся тем свойством главных осей эллипсоида, что они совпадают с нормалями к эллипсоиду в точках пересечения последнего с осями.
Пусть
-
вектор с составляющими
,
проведенный в конец
главной полуоси эллипсоида (рис. 1.4).
Направляющие косинусы нормали к этому
эллипсоиду в точке
пропорциональны производным левой
части уравнения (1.17) по
;
если эта нормаль коллинеарна с вектором
,
то должно быть:
,
(1.18)
,
где
- неопределенный пока параметр, имеющий
очень простое значение.
Действительно,
если помножить предыдущие уравнения
по порядку на
и
,
сложить и воспользоваться уравнением
(1.17), то получим
,
откуда следует, что
,
(1.19)
Рисунок 1.4 –
Эллипсоид деформации
где
есть длина рассматриваемой главной
полуоси эллипсоида (1.17).
Воспользовавшись уравнениями (1.16), мы можем переписать соотношения (1.18) в следующем виде:
,
или проще:
,
,
,
,
что в векторном виде можно записать так:
где
-
радиус-вектор той точки
,
которая после деформации перешла в
конец вектора
.
Полученное уравнение и показывает, что
все точки,
лежавшие до деформации на главной оси
эллипсоида деформации, остаются после
деформации на той же оси.
Вычислим
относительное удлинение главной оси,
которое мы обозначим через
:
так, что
.
Из
уравнения (1.19), принимая во внимание,
что
,
выведем
,
или, пренебрегая членами второго порядка малости,
.
(1.20)
Воспользовавшись этим выражением, мы можем переписать систему (1.18) еще так:
,
.
Условие совместности этой системы трех однородных по уравнений состоит в равенстве нулю определителя:
.
Раскрыв определитель и разложив его члены по степеням , получим следующее кубическое уравнение:
где
(1.21)
Это
кубическое уравнение всегда имеет три
вещественных корня
(два из которых или все три могут оказаться
и равными), которые носят название
главных
удлинений.
Таким образом, в каждой точке
деформированного тела всегда можно
найти три главных удлинения.
Понятно,
что главные удлинения определяются
характером деформированного состояния
в точке и не зависят от того, какая
система координатных осей была принята
в качестве исходной. Следовательно, при
повороте исходной системы осей
коэффициенты
и
должны остаться неизменными. То есть,
эти коэффициенты представляют собой
инварианты
деформированного состояния.
Если оси координат выбраны так, что они совпадают с главными осями эллипсоида деформации, то инварианты деформированного состояния можно выразить через главные удлинения:
Аналогично главным осям деформации, можно найти главные оси скоростей деформации и главные скорости удлинений.