Эта сетка обладает рядом замечательных свойств. Так, если функция f(x) обладает непрерывной первой производной, то интерполяционный процесс на чебышевской сетке всегда сходится. Эта сетка также позволяет: 

- построить интерполяционный полином близкий к полиному наилучшего равномерного приближения и    - обеспечивает, в сравнении с равномерной сеткой, существенно более высокую устойчивость полинома к погрешностям задания исходных данных.       Однако, следует иметь в виду, что достоинства этой сетки не предопределяют абсолютную целесообразность её использования. Это связано с тем, что:    - она может оказаться не всегда удобной для вычисления соответствующих значений функции f(x)    - сходимость интерполяционного процесса может потребовать построения другой сетки.       В общем случае, для каждой функции существует своя система сеток, на которых интерполяционный процесс сходится.

Наиболее очевидным алгоритмом построения многочлена P(x) является нахождение его коэффициентов a_i из системы уравнений

 , i = 0,1,...,n  

(4)

Поскольку матрица этой системы уравнений

(5)

является матрицей Вандермонда и её определитель, при не совпадающих x_i , не равен нулю, то система ( 4 ) имеет решение и оно единственно. Отметим, что вычисление коэффициентов полинома посредством решения системы (4) в вычислительной практике используется крайне редко. Причиной этого является плохая обусловленность матрицы (5), приводящая к заметному росту погрешности в выполнении условий интерполирования уже при сравнительно невысоких порядках полинома. К этому следует добавить, что вычислительные затраты реализации метода пропорциональны n³. Алгоритмы Ньютона и Лагранжа более устойчивы к ошибкам округления и менее трудоемки.

Интерполяционный многочлен легко определяется если его построить в виде:

P_n(x) = С₀ + С₁(x - x₀) + C₂(x - x₀) (x - x₁) + ...+ C_n(x - x₀)(x - x₁) ... (x - x_n-1)

(5)

Исходя из условия интерполяции (1) для коэффициентов C_i получим систему уравнений треугольного вида

f(x₀) = С₀ f(x₁) = С₀ + С₁(x₁ - x₀ ) f(x₂) = С₀ + С₁(x₁ - x₀ ) + C₂(x₂ - x₀ )(x₂ - x₁ ) ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .} f(x_n ) = С₀ + С₁(x_n - x₀) + C₂(x_n - x₀)(x_n - x₁) + ...+ C_n(x_n - x₀)(x_n - x₁) ... (x_n- x_n-1)

Из этой системы легко находятся:

   и так далее.

Величины, стоящие в правой части приведённых выше равенств, получили название разделённых разностей, соответственно, нулевого, первого и второго порядков. Для них приняты обозначения f[x_i], f[x_i ,x_i-1], f[x_i ,x_i-1 ,x_i-2] и т.д. С учётом этих обозначений выражение (5) можно переписать в виде:

P_n(x) = f[x₀] + f[x₁ ,x₀](x - x₀) + f[x₂ ,x₁ ,x₀](x - x₀)(x - x₁) + ...                                  + f[x_n ,x_n-1 ,...x₀](x - x₀)(x - x₁)...(x - x_n-1)

(6)

Можно показать, что

(7)

Выражения (6) и (7) определяют интерполяционный полином в форме Ньютона. Вычисление полинома в Ньютоновской форме удобно при последовательном дополнении сетки (n+2)-м узлом и наращивании порядка интерполяционного полинома. При этом необходимо вычислить лишь одно дополнительное слагаемое  f[x_n+1 ,x_n,...x₀](x - x₀)(x - x₁)...(x - x_n) в выражении (6).