2 Регрессионный анализ парных случайных величин

2.1 Оценка параметров линейной парной регрессии

Для проведения регрессионного анализа результатов измерения зависимости напряжения сигнального тока от силы тока (таблица 2) необходимо перенести эти результаты на рабочий лист табличного процессора MS Excel. Указанные данные размещены в ячейках N4:P29 (рисунок 16).

Рисунок 16. Исходные данные

Точечный график результатов измерения зависимости напряжения сигнального тока от силы тока U(I) представлен на рисунке 17.

Рисунок 17. График зависимости U(I)

Расчет коэффициентов уравнения линейной регрессии

Построение линейной регрессии вида сводится к оценке ее параметров a, b.

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).

Коэффициенты, определяемые на основе МНК, являются решением системы уравнений

.

Решением этой системы уравнение является:

,

где cov(x, y)= – выборочная ковариация;

– выборочное значение дисперсии величины x, определяемой по формуле:

.

Рисунок 18. Предварительные расчёты для вычисления коэффициентов уравнения линейной регрессии

Коэффициент b вычисляется по формуле (рисунок 19):

.

Рисунок 19. Вычисление коэффициента b уравнения линейной регрессии

Коэффициент a вычисляется по формуле (рисунок 20):

.

Рисунок 20. Вычисление коэффициента a уравнения линейной регрессии

В вычислительной среде табличного процессора MS Excel задача нахождения коэффициентов уравнения линейной регрессии решается при помощи статистических функций НАКЛОН (наклон прямой относительно оси Х, коэффициент b) и ОТРЕЗОК (отрезок, отсекаемый прямой на оси Y, коэффициент a). Статистическая функция КВПИРСОН вычисляет значение коэффициента детерминации R². Расчет представленных функций для исходных данных представлены на рисунках 21 и 22.

Рисунок 21. Функции вычисления коэффициентов a, b и R² с указанием адресов ячеек содержащих аргументы

Рисунок 22. Результаты вычисления функций коэффициентов a, b и R²

Таким образом, уравнение линейной парной регрессии, построенное по результатам измерения зависимости напряжения сигнального тока от силы тока, имеет следующий вид:

.

Коэффициент детерминации (R²) приведенного линейного уравнения с результатами измерений составляет 0,023.

2.2 Оценка параметров нелинейной парной регрессии

Оценка параметров нелинейной парной регрессии на основании результатов измерения зависимости напряжения сигнального тока от силы тока в данной работе проводиться с применением команды «Добавить линию тренда» табличного процессора.

Команда «Добавить линию тренда» используется для выделения тренда (медленных изменений) при анализе временных рядов. Однако эту команду можно использовать и для построения уравнения нелинейной регрессии, рассматривая в качестве времени t независимую переменную x, которая является значением силы тока (I).

Эта команда позволяет построить уравнения регрессии различного вида. Но в рамках данной работы требуется только следующие виды:

• линейная;

• экспоненциальная;

• полиноминальная.

Для построения уравнения регрессии необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1. Ввести по столбцам исходные данные.

Шаг 2. По этим данным построить график в декартовой системе координат.

Шаг 3. Установить курсор на любую точку построенного графика, сделать щелчок правой кнопкой и в появившемся контекстном меню выполнить команду Добавить линию тренда.

Шаг 4. В появившемся диалоговом окне выбрать нужное уравнение регрессии (рисунок 23).

Шаг 5. Включить необходимые опции:

«Показать уравнение на диаграмме» ‒ на диаграмме будет показано выбранное уравнение регрессии с вычисленными коэффициентами;

«Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R²)» ‒ на диаграмме будет показано значение коэффициента детерминации (для нелинейной регрессии ‒ индекс детерминации R²).

Если по построенному уравнению регрессии необходимо выполнить прогноз, то нужно указать число периодов прогноза.

Шаг 6. После задания всех перечисленных опций на диаграмме появится формула построенного уравнения регрессии и значение индекса детерминации R².

Рисунок 23. Настройка параметров линии тренда в табличном процессоре MS Excel

При использовании приведенных выше шагов для построения линии тренда линейной регрессии (рисунок 24) коэффициент детерминации (R²) равен 0,023, а уравнение имеет вид:

.

Эти результаты подтверждают результаты, полученные при оценке параметров линейной регрессии в параграфе 2.1.

Рисунок 24. График зависимости U(I) с линией тренда линейной регрессии

График линии тренда экспоненциальной регрессии, уравнение этой линии и значение коэффициента детерминации приведен на рисунке 25.

Рисунок 25. График зависимости U(I) с линией тренда экспоненциальной регрессии

Для построения линии тренда полиноминальной регрессии используется степень полинома равная 2. График линии тренда полиноминальной регрессии, уравнение этой линии и значение коэффициента детерминации приведен на рисунке 26.

Рисунок 26. График зависимости U(I) с линией тренда полиномиальной регрессии