2 Регрессионный анализ парных случайных величин с использованием табличного процессора
Зачастую, регрессия подаётся в виде простого уравнения, которое раскрывает зависимость и силу связи между двумя группами числовых переменных, одна из которых называется зависимой (эндогенной), а вторая - независимой (экзогенной или фактором). Если есть группа взаимосвязанных показателей, то зависимая переменная выбирается логическими размышлениями, а остальные выступают независимыми. То есть, если у нас есть расстояние между городами и затраты на путешествие, то вполне ясно, что затраты будут зависеть от расстояния. Уравнения бывают двух видов: линейные и нелинейные (это уже чистая математика). Стоит рассмотреть каждый из видов.
Линейное уравнение иллюстрирует строго линейную связь между переменными, то есть в нём отсутствуют степени, дроби, тригонометрические функции. Решается стандартными математическими способами.
Уравнение
линейной регрессии имеет вид:
.
Логично предположить, что в нелинейный класс уравнений входит всё то, что не вошло в линейный. Решаются такие уравнения сведением к линейному типу, а дальше – по накатанной дорожке.
Уравнения нелинейной регрессии:
полиномиальная функция
гиперболическая
степенная модель
показательная модель
экспоненциальная модель
Регрессия бывает двух видов: парная (линейная и нелинейная) и множественная (линейная и нелинейная). Разница между ними в виде уравнения и количестве независимых переменных. Парная регрессия – это, когда одна зависимая переменная и одна независимая, в множественной – независимых переменных несколько. В природе имеет место исключительно множественная регрессия, так как нельзя ограничить внешнее влияние на какое-то явление строго одним фактором.
Парная (её ещё называют двухфакторной) модель проста в использовании, так как имеется всего две переменные: эндогенная и экзогенная. Что позволяет просто решить уравнение и провести анализ.
2.1 Построение линейной регрессии
Данный раздел посвящён
построению и исследованию уравнения
линейной регрессии вида
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров a, b.
Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).
Коэффициенты, определяемые на основе МНК, являются решением системы уравнений:
Решая эту систему уравнений, получим
где
cov(x,
y)=
– выборочная ковариация;
– выборочное значение дисперсии величины
x, определяемой
по формуле:
В вычислительной среде табличного процессора MS Excel эта задача (нахождение коэффициентов уравнения линейной регрессии) решается при помощи статистических функций НАКЛОН(наклон прямой относительно оси Х, коэффициент b) и ОТРЕЗОК(отрезок, отсекаемый прямой на оси Y, коэффициент a).
Статистическая функция КВПИРСОН вычисляет значение коэффициента детерминации.
2.2 Построение линейной и нелинейной регрессий с использованием команды «Добавить линию тренда»
Команда «Добавить линию тренда» используется для выделения тренда
(медленных изменений) при анализе временных рядов. Однако эту команду можно использовать и для построения уравнения нелинейной регрессии, рассматривая в качестве времени t независимую переменную x.
Эта команда позволяет построить следующие уравнения регрессии:
линейная;
полиноминальная;
логарифмическая;
степенная;
экспоненциальная.
Для построения одной из перечисленных регрессий необходимо выполнить
следующие шаги:
Шаг 1. Ввести по столбцам исходные данные
Шаг 2. По этим данным построить график в декартовой системе координат
Шаг 3. Установить курсор на любую точку построенного графика, сделать
щелчок правой кнопкой и в появившемся контекстном меню выполнить
команду «Добавить линию тренда».
Шаг 4. В появившемся диалоговом окне выбрать нужное уравнение регрессии.
Шаг 5. «Включить» необходимые опции:
«Показать уравнение на диаграмме» – на диаграмме будет показано выбранное уравнение регрессии с вычисленными коэффициентами;
«Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R2)» – на диаграмме будет показано значение коэффициента детерминации (для нелинейной регрессии индекс детерминации R2).
Если по построенному уравнению регрессии необходимо выполнить прогноз, то нужно указать число периодов прогноза.
Шаг 6. После задания всех перечисленных опций на диаграмме появится
формула построенного уравнения регрессии и значение индекса детерминации R2.