Операции над матрицами
Некоторые операции над матрицами, такие как сложение и вычитание, допускаются только для матриц одинакового размера.
Равные матрицы
Определение
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:
Пример
.
Эти матрицы равны, т.к. равны их
размеры: 
и
,
а также соответствующие элементы: 
;
Пример
Задание. Пусть
задана матрица 
.
Найти все элементы матрицы 
,
если известно, что она равна матрице 
Решение. Так
как матрицы
и 
равны,
то равны и их соответствующие элементы,
т.е.
Ответ.
Произведение матрицы на число
Определение
Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.
Пример
Задание. Пусть 
.
Найти матрицу 
.
Решение. 
Ответ. 
Умножение матрицы на число
Определение
Произведением
матрицы
на
ненулевое число 
называется
матрица 
того
же порядка, полученная из исходной
умножением на заданное число всех
ее элементов:
Итак, в результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.
Мы
получим одинаковый результат, умножая
число на матрицу, или матрицу на число,
то есть 
.
Из определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
Данная операция, вместе с операцией сложения матриц, относится к линейным операциям над матрицами.
Пример
Задание. Чему
равна матрица 
,
если матрица 
?
Решение. 
Ответ. 
Свойства умножения матрицы на число:
Сумма матриц
Определение
Суммой
матриц
и
одного
размера называется матрица 
такого
же размера, получаемая из исходных путем
сложения соответствующих элементов.
Пример
Задание. Найти 
,
если 
, 
Решение. 
Ответ. 
Операции умножение матрицы на число и сумма матриц называются линейными.
Свойства линейных операций:
Везде
далее матрицы
,
и 
-
матрицы одного размера.
Ассоциативность 
,
где 
- нулевая
матрица соответствующего размера.
Коммутативность 
Дистрибутивность
Сложение и вычитание матриц
Сложение и вычитание матриц, допускаются только для матриц одинакового размера.
Сумма матриц
Определение
Суммой матриц и одного размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов:
Замечание
Складывать можно только матрицы одинакового размера.
Пример
Задание. Найти
,
если 
Решение. 
Ответ. 
Свойства сложения и вычитания матриц:
Ассоциативность
, где - нулевая матрица соответствующего размера.
Коммутативность
Разность матриц
Разность двух матриц одинакового размера можно определить через операцию сложения матриц и черезумножение матрицы на число.
Вычитание
матриц вводится следующим образом: 
То есть к матрице прибавляется матрица , умноженная на (-1).
Определение
Разностью
матриц
и
одного
и того же размера называется матрица 
такого
же размера, получаемая из исходных путем
прибавления к матрице
матрицы
,
умноженной на (-1).
На практике же от элементов матрицы попросту отнимают соответствующие элементы матрицы при условии, что заданные матрицы одного размера.
Замечание
Вычитать можно только матрицы одинакового размера.
Пример
Задание. Найти
матрицу 
,
если 
Решение. 
Ответ. 
Произведение двух матриц
Определение
Произведением матрицы 
на
матрицу 
называется
матрица 
такая,
что элемент матрицы
,
стоящий в 
-ой
строке и 
-ом
столбце, т.е. элемент 
,
равен сумме произведений элементов
-ой
строки матрицы
на
соответствующие элементы
-ого
столбца матрицы
.
Пример
Задание. Найти 
,
если 
Решение. Так
как 
,
а 
,
то в результате получим матрицу размера 
,
т.е. матрицу вида 
.
Найдем элементы данной матрицы:
Таким образом, получаем, что:
Все вычисления можно было сделать в более компактном виде:
Ответ.
Свойства произведения матриц:
Ассоциативность 
Ассоциативность
по умножению 
Дистрибутивность 
, 
Умножение
на единичную
матрицу 
В
общем случае умножение
матриц не коммутативно, т.е. 
Умножение матриц
Определение
Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .
Замечание
Умножать матрицы можно тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.
Пример
Задание. Вычислить
и 
,
если 
Решение. Так
как 
,
а 
,
то произведение возможно и результатом
операции умножения будет матрица 
,
а это матрица вида 
.
Вычислим элементы матрицы :
Итак, 
.
Выполним произведения в более компактном виде:
Найдем
теперь произведение 
.
Так как количество столбцов матрицы
(первый
сомножитель) не совпадает с количеством
строк матрицы
(второй
сомножитель), то данное произведение
неопределенно. Умножить матрицы в данном
порядке невозможно.
Ответ. 
.
В обратном порядке умножить данные
матрицы невозможно, так как количество
столбцов матрицы
не
совпадает с количеством строк матрицы
.
Свойства произведения матриц:
Ассоциативность
Ассоциативность по умножению
Дистрибутивность ,
Умножение на единичную матрицу
В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е.
Транспонирование матрицы
Определение
Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.
Пример
Задание. Найти
матрицу 
,
если 
Решение. 
Ответ. 
Пример
Задание. Найти
транспонированную матрицу
,
если 
Решение. 
Если
матрица
-
это матрица размера 
,
то матрица
имеет
размер 
.
Свойства операции транспонирования матриц:
Элементарные преобразования над строками матрицы. Эквивалентные матрицы
Определение
Элементарными преобразованиями над строками матриц называются следующие преобразования строк:
умножение строки на ненулевое число;
перестановка двух строк;
прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое ненулевое число.
Если
от матрицы
к
матрице
перешли
с помощью эквивалентных преобразований
над строками, то такие матрицы
называются эквивалентными и
обозначают 
.
Примеры элементарных преобразований
Продемонстрируем
все элементарные преобразования на
примере матрицы 
Умножим первую строку матрицы на два, то есть каждый элемент первой строки умножаем на двойку, в результате получим матрицу , эквивалентную заданной матрице :
Поменяем первую и вторую строки матрицы местами, получаем эквивалентную ей матрицу :
От
первой строки матрицы
отнимем
вторую строку, получаем эквивалентную
матрицу 
:
В итоге делаем вывод, что матрицы и эквивалентны, так как от одной из них перешли к другой при помощи эквивалентных преобразований над строками.
Понятие определителя матрицы
Определение
Квадратной
матрице 
-го
порядка ставиться в соответствие
число 
,
называемое определителем
матрицы или
детерминантом.
Свойства определителей:
Замечание
Все что будет сказано относительно строк, будет относиться и к столбцам.
1°
При транспонировании квадратной
матрицы её определитель не меняется: 
Пример
Известно,
что определитель матрицы 
равен
3. Тогда определитель матрицы 
,
которая равна
,
также равен 3.
2° Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.
Пример
3° 
То
есть, если квадратная
матрица 
-го
порядка умножается
на некоторое ненулевое число
,
то определитель полученной матрицы
равен произведению определителя исходной
матрицы
на
число
в
степени, равной порядку матриц.
Пример
Задание. Пусть
определитель матрицы
третьего
порядка равен 3, вычислить определитель
матрицы 
.
Решение. По
свойству 
Ответ. 
4° Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.
5° Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.
Пример
6° Определитель с двумя равными строками равен нулю.
Пример
7° Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.
Пример
8° Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.
Пример
9° Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.
Пример
Пусть
задан определитель третьего порядка 
.
Прибавим ко второй строке определителя
третью его строку, при этом значение
определителя не измениться:
10° Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.
Пример
11°
Определитель произведения
матриц равен
произведению определителей: 
Минор и алгебраическое дополнение Минор
Определение
Минором 
к
элементу 
определителя
-го
порядка называется определитель 
-го
порядка, полученный из исходного
вычеркиванием
-той
строки и
-того
столбца.
Пример
Задание. Найти
минор 
к
элементу 
определителя 
.
Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:
тогда 
Ответ.
Алгебраическое дополнение
Определение
Алгебраическим
дополнением 
к
элементу
определителя
-го
порядка называется число
Пример
Задание. Найти
алгебраическое дополнение 
к
элементу
определителя
.
Решение. 
Ответ. 
Сумма произведений элементов "произвольной" строки на алгебраические дополнения к элементам -ой строки определителя равна определителю, в котором вместо -ой строки записана "произвольная" строка.
Сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.
Методы вычисления определителей
В общем случае правило вычисления определителей -го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.
Вычисления определителей второго порядка
Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагоналиотнять произведение элементов побочной диагонали:
Пример
Задание. Вычислить
определитель второго порядка 
Решение. 
Ответ. 
Методы вычисления определителей третьего порядка
Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.
Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.
Пример
Задание. Вычислить
определитель 
методом
треугольников.
Решение. 
Ответ. 
Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":
Пример
Задание. Вычислить определитель с помощью правила Саррюса.
Решение. 
Ответ.
Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Пример
Задание. Разложив
по первой строке, вычислить определитель 
Решение. 
Ответ. 
Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.
Пример
Задание. Вычислить определитель
Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Ответ.
Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.