1.7. Релятивистский аналог уш - уравнение Дирака

Необходимость рассмотрения релятивистских ВУ при описании явлений, происходящих в нерелятивистской области, связана с тем, что относительные величины релятивистских поправок к атомным уровням энергии E^(r)/E_nZ²(e²/c) (Z –атомный номер, e – заряд электрона, c – скорость света в вакууме), хотя и малы по сравнению с самыми значениями уровней, но всё же значительно превосходят экспериментальные ошибки определения разностей энергий уровней. Кроме того, энергетические уровни зависят от спиновых переменных, что представляет собой проявление релятивистского эффекта в нерелятивистской области.

Релятивистский гамильтониан свободной частицы. Релятивистское ВУ должно быть дифференциальным уравнением первой степени по времени, оно должно быть одного порядка по временной и пространственной производным. Наиболее общий вид релятивистского гамильтониана для свободной частицы, удовлетворяющий указанным условиям есть:

H_D= cp+ mc²,

где p обычный оператор импульса, , - безразмерные эрмитовые матрицы. Условию выполнимости для свободного движения частицы с импульсом p релятивистского соотношения: ²=c²p²+ m²c⁴( – энергия частицы) могут удовлетворять только матрицы размерности 4k. При k=1 уравнение для четырехкомпонентной ВФ , представляющей собой вертикальный столбец из четырех элементов _, ___имеет вид:

i/t = (cp+ mc² = H_D

где , - квадратные матрицы четвертого порядка. Это уравнение носит название уравнения Дирака, оно было получено в 1928 году Полем Дираком (P.A.M. Dirac). Уравнение является релятивистским аналогом УШ, удовлетворяющим требованиям линейности и релятивистской инвариантности. В теории Дирака допущение о малых скоростях частиц снято. УШ может быть получено как некоторое приближение уравнения Дирака при v/c<< 1.

Матрицы Дирака. Матрицы  (₁, ₂, ₃),  (матрицы Дирака) в стандартном представлении имеют вид:

0 0 0 1 0 0 0 -i 0 0 1 0 1 0 0 0

₁= 0 0 1 0 ; ₂= 0 0 i 0 ; ₃= 0 0 0 -1 ; = 0 1 0 0 ,

0 1 0 0 0 –i 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0

1 0 0 0 i 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 –1

или = 0 , = I 0 , – матрицы Паули _x= 0 1 , _y= 0 –i , _z= 1 0 ,

 0 0 –I 1 0 i 0 0 -1

I - двухрядная единичная матрица.

Квадраты матриц ₁, ₂, ₃,  равны единичным матрицам; матрицы  и _i эрмитовы, они антикоммутируют друг с другом (_i_j=-_j_i, i≠j, i, j= 1, 2, 3; _i²=^1).

Вывод из уравнения Дирака спина. Важной особенностью дираковского Гамильтониана является то, что он не коммутирует с моментом импульса частицы:

[H_D,M_z]= [H_D,xp_y-yp_x] = [cp +mc²,xp_y-yp_x]=c_z[p_x,x]-ca_y[p_y,y]=

-ic(_xp_y-_yp_x) = - ic (xp)_z 0

(использовано то, что матрицы Дирака действуют только в спиновом пространстве и равенство [A,BC] = B[A,C] +[A,B]C). Следовательно, для свободной дираковской частицы обычные комбинации компонент момента импульса типа xp_y-yp_x не сохраняются во времени. Можно показать, что величина

xp_y - yp_x - i₁₂/2 = j_z

коммутирует с гамильтонианом, поэтому она интерпретируется как z-компонента вектора момента импульса. Оператор вектора момента можно записать в виде:

j= (xxp) + (/2i){₂₃, ₃₁, ₁₂} = (xxp)+ ′/2 = l+ s,

где j – оператор полного момента частицы, первый член справа l представляет собой орбитальную часть момента, а второй s – спиновую часть. Таким образом, в случае свободного движения частицы интегралом движения является j=l+′/2=l+s.

Проекция спинового момента на направление импульса sp/p коммутирует с H_D, следовательно, сохраняется. Из явного вида матрицы  следует, что проекция спина может принимать лишь два значения: +/2 или -/2. Таким образом, уравнение Дирака описывает частицы со спином s=1/2.

Нерелятивистский предельный случай:

i/t=[(p-eA/c)²/2m+e-(e/2mc)(B)].

Это так называемое уравнение Паули, оно отличается от нерелятивистского УШ наличием в гамильтониане дополнительного члена, имеющего вид потенциальной энергии магнитного момента во внешнем поле. Таким образом, в первом по (1/с) приближении электрон ведет себя как частица, обладающая наряду с зарядом, также и магнитным моментом:

=(e/2mc)=(e/mc)s (_B = e/2m_e – магнетон Бора).

Рис. 1.7. Кулоновское взаимодействие электронов e_i, e_j и ядра n.

1.8. Многоэлектронные атомы