- •1. Электронная структура и свойства химических элементов
- •1.1. Уравнение Шредингера
- •1.2. Уравнение Шредингера для водородоподобных атомов
- •1.2.1. Волновые функции водородоподобного атома
- •1.2.2. Квантовые числа
- •1.3. Спин в нерелятивистской квантовой механике
- •1.4. Вф водородоподобных атомов
- •1.5. Пространственное распределение электронной плотности
- •1.5.1. Понятие электронного облака
- •1.5.2. Формы атомных орбиталей s,- p-, d- и f -электронов
- •1.5.3. Радиальная плотность вероятности
- •1.6. Спин-орбитальное взаимодействие
- •1.7. Релятивистский аналог уш - уравнение Дирака
- •1.8.1. Гамильтониан свободного многоэлектронного атома h
- •1.8.2. Поправки к энергии электронов, приближения ls-связи Рассела-Саундерса и jj-связи
- •1.8.3. Решение уш многоэлектронного атома
- •1.8.4. Сложение моментов при ls-связи
- •1.8.5. Термы
- •1.8.6. Электронные конфигурации многоэлектронных атомов
- •1.8.7. Учет спин-орбитального взаимодействия электронов в атоме
- •1.8.8. Примеры различных конфигураций электронов
- •1.8.9. Схема jj-связи
- •1.9. Периодический закон химических элементов
- •1.10. Магнетизм электронной оболочки атома
- •1.10.1. Орбитальный и спиновый магнетизм электронной оболочки одноэлектронного атома
- •1.10.2. Орбитальный и спиновый магнетизм оболочки многоэлектронного атома
1.2. Уравнение Шредингера для водородоподобных атомов
Водородоподобным называют атомы, в которых есть единственный электрон в поле ядра с зарядом +Ze на расстоянии r от него. U(r)=-Ze2/r. УШ имеет вид:
-2/2m + (-Ze2/r)=E.
Движение ядра учтено введением приведенной массыm=me/(1+me/Mi), me – масса электрона, Mi – масса ядра. Это уравнение представляет пример немногих квантово-механических задач, имеющих точное аналитическое решение.
1.2.1. Волновые функции водородоподобного атома
В сферической системе координат ВФ nlm(r,) электрона в водородоподобных атомах разделяются на радиальный Rnl(r) и угловой Ylmlm∙m множители:
nlm(r,) = Rnl(r)∙lm·m.
Радиальная часть Rnl(r) зависит от квантовых чисел n и l, она представляет собой экспоненциально-степенную функцию от r:
Rnl(2Zr/naB)=(2Z3/2/n2aB3/2){(n-l-1)!/[(n+1)!]3}1/2(2Zr/naB)l··[exp(-Zr/naB)]Ln+1(2l+1)(2Zr/naB);
где Ln+1(2l+1)(2Zr/naB) – полиномы Лагерра, определяемые как:
Lk(s)(x)=ds[Lk(x)]/dxs, Lk(x)=exdk(e-xxk)/dxk,
aB - так называемый Боровский радиус атома водорода, равный aB = 2/me2=e/=0,53 Å=1 Бор. Функция Rnl(r) характеризуется (n-l-1) узловыми точками, в которых Rnl=0.
Угловая часть Ylm = lm·m() характеризует форму атома, она описывается функциями, известными в математике как шаровые функции. Явный вид некоторых ВФ электрона водородоподобных атомов приведен в таблице 1.1.
Таблица 1.1. Явный вид некоторых волновых функций электрона в водородоподобных атомах (aB = ħ2/mc2 = 0,529 Ǻ). |
|||
N |
L |
M |
ВФ - nlm,Rnl()·lm·m() (=Zr/aB) |
1 |
0 |
0 |
1s=2(Z/aB)3/2(exp-) · (1/4)1/2 |
2 |
0 |
0 |
2s=(1/2)1/2(Z/aB)3/2(1-)(exp-) · (1/4)1/2 |
2 |
1 |
0 |
(1/2)(1/6)1/2(Z/aB)3/2(exp-) ·i(3/4)1/2cos |
2 |
1 |
1 |
(1/2)(1/6)1/2(Z/aB)3/2(exp-) · (1)(-+i)(3/8)1/2sinei |
3 |
0 |
0 |
3s=(2/3)(1/3)1/2(Z/aB)3/2(1-2+22/27)(exp-)(1/4)1/2 |
3 |
1 |
0 |
(4/27)(2/3)1/2(Z/aB)3/2(1-)(exp-) ·i(3/4)1/2cos |
3 |
1 |
1 |
(4/27)(2/3)1/2(Z/aB)3/2(1-)e- (1) (-+i) (3/8)1/2sinei |
3 |
2 |
0 |
(4/81)(1/30)1/2(Z/aB)3/22(exp-) · (5/16)1/2(3cos2-1) |
3 |
2 |
1 |
((4/81)(1/30)1/2(Z/aB)3/22(exp-) ·(1)(±1)(15/8)1/2cossinei |
3 |
2 |
2 |
(4/81)(1/30)1/2(Z/aB)3/22(exp-) (±1)(15/32)1/2sine2i |
4 |
0 |
0 |
4s=(1/4)(Z/aB)3/2(1-3/4+1/82-1/1923 )(exp-) · (1/4)1/2 |
4 |
1 |
0 |
1/[16*(5/3)1/2](Z/aB)3/2(1-1/4+1/802)e-·(-i)(3/4)1/2cos |
4 |
1 |
1 |
1/[16*(5/3)1/2](Z/aB)3/2(1-1/4+1/802)e-· (1) (-+i) (3/8)1/2sinei |
4 |
2 |
0 |
(1/64) (1/5)1/2(Z/aB)3/2(1-2(exp-)·(-1) (5/16)1/2(3cos2-1) |
4 |
3 |
0 |
(1/768)(1/35)1/2(Z/aB)3/23(exp-) (-i)(7/16)1/2 cos (5cos2-3) |
4 |
3 |
1 |
(1/768)(1/35)1/2(Z/aB)3/23(exp-) · (1)(±i)(1/8)(21/)1/2(5cos2-1)sin)ei |