Лекция №4 (асу-2016) Логические основы эвм.

1. Основные понятия алгебры логики.

В 1854 г. Джон Буль положил начало математической логике. Около 30 лет назад оформилась в самостоятельную дисциплину.

Математическая логика изучает только рассуждения со строго определенными объектами и суждениями, для которых возможно однозначно решить «истины» они, или «ложны». Большинство устройств ЭВМ состоит из компонентов с двумя устойчивыми состояниями и их удобно описывать на наборе логических функций принимающих значения { 0; 1 }.

- Алгебра высказываний

Основу любой ЭВМ составляют элементарные логические схемы. Работа этих схем основана на законах и правилах логики, которая оперирует двумя понятиями: истинности и ложности высказывания.

Алгебра логики – раздел математики, изучает высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности и ложности) и логических операций над ними.

Высказывание – это повествовательное предложение, которое либо истинно, либо ложно. В нем говорится о единственном событии.

Логическими значениями высказывания являются «истина» и «ложь», обозначаемые 1 и 0.

Высказывания, представляющие собой одно утверждение, называются простыми или элементарными, высказывания, получающиеся из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или»… называются сложными.

Аппарат булевой алгебры состоит из трех множеств: элементов, операций над ними и аксиом

Элементы булевой алгебры выбираются бинарными В={0,1}

Операции. Основными или базовыми операциями служат И (АND), ИЛИ (OR) и НЕ (NOT)

И – логическое умножение, или конъюнкция. (*, ^, &,..) А & B читается как А и В.

ИЛИ – Логическое сложение или дизъюнкция. (+,  , OR, ИЛИ… ) А  B читается как А или В.

НЕ – логическое отрицание или инверсия. (─, ¬, NOT, НЕ) НЕ А читается неверно что А.

Основные законы и постулаты (аксиомы) алгебры логики Аксиомы

1. Дизъюнкция двух переменных равна 1, если одна из них равна 1, и равна нулю, если обе переменные равны нулю.

2. Конъюнкция двух переменных равна 0, если хотя бы одна из них равна 0, и равна 1, если обе переменные равны 1.

3. Инверсия значения переменной совпадает с другим ее значением (их всего два)

Законы

1. Законы однопарных элементов:

1. Универсального множества:

x+1=1;

x*1= x;

б) нулевого множества:

x+0=x;

x*0=0.

2. Законы отрицания:

а) двойного отрицания:

Зако́н двойно́го отрица́ния — положенный в основу классической логики принцип, согласно которому «если неверно, что неверно А, то А верно». Закон двойного отрицания называется также законом снятия двойного отрицания. В формализованном языке логики высказываний закон двойного отрицания выражается формулой

x = x

б) дополнительности

в) двойственности (де Моргана)

3. Комбинационные законы:

а) тавтологии:

x + x = x

x*x = x

б) коммутативные:

x + y = y + x

x*y = y*x

в) ассоциативные (сочетательные):

x + (y + z) = (x +y) + z;

x*(y*z)=(x*y)*z

г) дистрибутивные (распределительные):

x*(y + z) = x*y + x*z

x + y*z =(x +y)(x +z)

д) абсорбции (поглощения):

x + xy = x

x(x+y) = x

е) склеивания: