Задания к лабораторным работам
по курсу методы вычислений и вычислительный практикум
для студентов 4 курса специальности математика
7 семестр
Лабораторная работа № 1
Теория интерполирования. Сплайны
Задание:
1. Для функции,
заданной таблично, построить
интерполяционный многочлен Лагранжа
и вычислить значение функции в точке
.
Вариант |
|
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
|
1 |
|
5.84 |
6.13 |
6.30 |
6.69 |
2.02 |
2 |
|
11.38 |
12.80 |
14.70 |
17.07 |
2.09 |
3 |
|
3.14 |
4.15 |
5.65 |
6.91 |
2.91 |
4 |
|
6.87 |
6.41 |
4.42 |
3.91 |
2.85 |
5 |
|
7.19 |
6.21 |
5.12 |
3.98 |
2.44 |
6 |
|
1.50 |
1.34 |
1.23 |
1.16 |
2.13 |
7 |
|
1.10 |
1.05 |
0.97 |
0.79 |
2.25 |
8 |
|
1.54 |
1.61 |
1.66 |
1.71 |
2.32 |
9 |
|
0.78 |
0.39 |
0.26 |
0.19 |
2.79 |
10 |
|
0.69 |
0.35 |
0.23 |
0.17 |
2.94 |
11 |
|
1.05 |
1.21 |
1.57 |
2.42 |
2.48 |
12 |
|
6.28 |
5.62 |
5.14 |
4.91 |
2.59 |
13 |
|
1.57 |
1.21 |
1.11 |
1.05 |
2.64 |
14 |
|
1.11 |
0.74 |
0.56 |
0.44 |
2.71 |
15 |
|
1.88 |
1.54 |
1.39 |
1.30 |
2.12 |
2. Для табличной функции из задания № 1 построить интерполяционный многочлен Ньютона и вычислить значение функции в заданной точке . Сравнить результаты.
3. Для заданной функции
построить таблицу значений функции на
отрезке
,
разбив отрезок на
равных частей, а затем с помощью
интерполирования в форме Ньютона найти
значение функции в заданной точке
.
Определить погрешность интерполирования.
Вариант |
|
|
|
|
|
1 |
|
1.0 |
1.6 |
3 |
1.55 |
2 |
|
-0.2 |
0.4 |
3 |
-0.11 |
3 |
|
0.6 |
1.2 |
3 |
0.65 |
4 |
|
0.0 |
0.6 |
3 |
0.54 |
5 |
|
0.1 |
0.4 |
3 |
0.13 |
6 |
|
-0.1 |
0.2 |
3 |
0.18 |
7 |
|
0.0 |
0.3 |
3 |
0.27 |
8 |
|
1.2 |
1.8 |
3 |
1.24 |
9 |
|
0.4 |
1.0 |
3 |
0.45 |
10 |
|
0.5 |
0.8 |
3 |
0.77 |
11 |
|
1.1 |
1.4 |
3 |
1.12 |
12 |
|
0.1 |
0.4 |
3 |
0.37 |
13 |
|
0.0 |
0.3 |
3 |
0.12 |
14 |
|
-0.1 |
0.2 |
3 |
-0.05 |
15 |
|
0.4 |
0.7 |
3 |
0.63 |
4. Для функции, заданной таблицей, найти приближенное значение первой и второй производной в точке
X |
0.98 |
1.00 |
1.02 |
1.04 |
Y |
0.7825 |
0.7739 |
0.7651 |
0.7473 |
,
– номер варианта.
5. По заданной таблице значений
функции определить значения аргументов
,
соответствующих заданным значениям
X |
4 |
6 |
9 |
11 |
15 |
17 |
19 |
Y |
16 |
36 |
81 |
121 |
225 |
289 |
361 |
1) y=25; 2) y=49; 3) y=100; 4) y=64; 5) y=144; 6) y=196; 7) y=169; 8) y=55; 9) y=105; 10) y=200; 11) y=300; 12) y=180; 13) y=150; 14) y=130; 15) y=200.
6. Для функции, из задания № 3, построить кубический сплайн и вычислить значение функции в указанной точке .
7.
Для заданной функции
из задания № 3,
построить таблицу значений функции на
отрезке
,
полагая
,
,
,
.
С помощью интерполяционной формулы
Гаусса найти значение функции в заданной
точке
.
Лабораторная работа № 2
Прямые методы решения системы линейных алгебраических уравнений
Задание:
Решить систему уравнений:
,
,
n
– номер варианта, m=(41,42,43)
– номер группы.
Методом Гаусса по схеме единственного деления.
Методом Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице.
По схеме Халецкого.
Методом квадратного корня.
Вычислить определитель матрицы по алгоритмам п.п. 1,3,4.
Лабораторная работа № 3
Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
Задание:
Для заданной системы алгебраических уравнений (из лаб. раб. № 2) найти решение системы уравнений:
а) методом простой итерации;
б) методом Зейделя;
в) определить условия сходимости методов;
г) выполнить четыре шага итерации;
д) для
требуемой точности
определить необходимое количество
итераций и вычислить его.
Лабораторная работа № 4
Квадратурные правила наивысшей алгебраической степени точности. Вычисление кратных интегралов
Задание:
Вычислить интеграл по обобщенной формуле трапеции с двумя верными знаками после запятой.
Вариант |
Подынтегральная функция |
a |
b |
n |
1 |
|
0 |
1 |
8 |
2 |
|
0 |
1 |
4 |
3 |
|
0 |
1 |
8 |
4 |
|
0 |
1 |
8 |
5 |
|
0 |
2 |
8 |
6 |
|
1 |
2 |
4 |
7 |
|
0 |
|
8 |
8 |
|
1 |
4 |
6 |
9 |
|
0 |
|
4 |
10 |
|
0 |
1 |
8 |
11 |
|
1 |
2 |
4 |
12 |
|
0 |
1 |
8 |
13 |
|
0 |
|
8 |
14 |
|
1 |
2 |
4 |
15 |
|
1 |
3 |
8 |
Вычислить интеграл по формуле Гаусса для n=3. Вариант из задания № 1.
Вычислить интеграл по обобщенной формуле трапеции для n и n+k узлов и уточнить результат:
а) по формуле Ричардсона
б) по формуле Эйлера
в) по формуле Ромберга
Вариант |
Подынтегральная функция |
a |
b |
n |
k |
1 |
|
-1 |
1 |
5 |
5 |
2 |
|
1 |
2 |
4 |
4 |
3 |
|
0 |
1 |
4 |
2 |
4 |
|
0 |
1 |
4 |
2 |
5 |
|
0 |
1 |
3 |
3 |
6 |
|
0 |
1 |
5 |
5 |
7 |
|
0 |
2 |
4 |
2 |
8 |
|
0 |
2 |
4 |
6 |
9 |
|
2 |
3 |
4 |
4 |
10 |
|
0 |
1 |
3 |
3 |
11 |
|
0 |
|
5 |
3 |
12 |
|
0 |
|
4 |
4 |
13 |
|
0 |
|
4 |
4 |
14 |
|
0 |
|
3 |
6 |
15 |
|
1 |
2 |
4 |
4 |
.
4. Вычислить приближенно двойной интеграл
,
где
,
функцию
и пределы интегрирования а
и b
взять из
задания 3.
Использовать:
а)
кубатурную формулу Симпсона с шагами
,
б) метод Гаусса для n=2.