Перейдем к следующему меню окна lti Viewer под названием Tools. Данное меню включает три элемента:

• Viewer Controls (Управление обозревателем) – эта опция позволяет управлять отображением управляющих элементов, расположенных в нижней части окна LTI Viewer; по умолчанию опция активна (отмечена “галочкой”).

• Response Preferences (Свойства графиков) – выбор этой команды приводит к появлению одноименного окна. В нем можно установить диапазоны изменения координат, изменить единицы измерения амплитуды и частоты, установить собственные определения времени установления и времени возрастания переходного процесса и т.п.;

• Linestyle Preferences (Свойства и стили линий) – после вызова этой команды появляется диалоговое окно, которое позволяет установить цвет, толщину и стили линий для графического изображения. Для этого достаточно выбрать нужный объект и установить требуемый параметр.

Следующее меню обозревателя Plots (Графики) содержит только одну опцию – Grid On (Сетка включена). Если опция установлена, то на графики накладывается сетка из координатных линий.

В противном случае сетка из координатных линий на графики не наносится. Установка и отключение опции осуществляется при помощи мыши.

1.5. Синтез системы

Под синтезом САУ обычно понимают процесс разработки (проектирования, расчета параметров) одного из звеньев САУ, обеспечивающего заданное ее качество. Пакет Control содержит несколько процедур, осуществляющих проектирование звеньев, использование которых в контуре системы управления делает САУ оптимальной в некотором вполне определенном смысле.

Процедура lqr осуществляет проектирование линейно-квадратичного оптимального регулятора для систем непрерывного времени. При обращении вида [K,S,E]=lqr(A,B,Q,R,N) процедура рассчитывает оптимальное статическое матричное звено К такое, что использование его в цепи отрицательной обратной связи в пространстве состояния:

u= -Kx (1.1)

м инимизирует функционал

(1.2)

если объект регулирования описывается уравнениями состояния:

(1.3)

Если последняя матрица N при обращении к процедуре не указана, то она принимается по умолчанию нулевой. Одновременно вычисляется решение S

алгебраических уравнений Рикатти:

(1.4)

и находятся собственные значения Е замкнутой системы:

E=EIG(A-B*K) (1.5)

Применяя эту процедуру к ранее введенной САУ движения торпеды, получим:

» [A,B,C,D]=ssdata(sssys)

» Q=eye(4)

» R=1

» [K,S,E]=lqr(A,B,Q,R)

K=

0.4417 0.2773 0.5719 0.2926

S=

0.8834 0.5546 1.1438 0.5852

0.5546 0.4497 0.7989 0.4353

1.1438 0.7989 1.9896 1.0933

0.5852 0.4353 1.0933 1.7924

E=

-4.8886 + 8.6016i

-4.8886 - 8.6016i

-0.4718 + 0.6195i

-0.4718 - 0.6195i

С ледующая процедура lqry также применяется для систем «непрерывного времени». Она отличается тем, что, во-первых, проектируемая обратная связь по состоянию рассчитывается как дополнительная по отношению к существующим (а не как заменяющая уже существующие) и охватывающая только регулируемый объект. Во-вторых, функционал минимизируется не по вектору состояния, а по выходной величине (величинам ) системы:

(1.6)

В этом случае входным параметром процедуры является сама SS-модель системы в форме:

(1.7)

а вызываться процедура должна таким образом:

[K,S,E]=lqry(sys,Q,R,N)

где sys – имя LTI-модели оптимизируемой САУ. Та же процедура может быть применена для дискретной системы(модели), уравнения состояния которой заданы в виде конечно-разностных уравнений вида:

x[n+1]=Ax[n], y[n]=Cx[n]+Du[n] (1.8)

П ри этом минимизируется функционал:

(1.9)

Применим процедуру к рассматриваемой системе. Получаем:

» Q=1; R=1;

» [K,S,E]=LQRY(sssys,Q,R)

K=

0.0988 0.2471 0.1844

S=

0.3002 0.1977 0.4941 0.3689

0.1977 0.1308 0.3270 0.2584

0.4941 0.3270 0.8172 0.6451

0.3689 0.2584 0.6451 0.8316

E=

-4.8653 + 8.5924i

-4.8653 - 8.5924i

-0.4222 + 0.6286i

-0.4222 - 0.6286i

Процедура lqrd позволяет спроектировать дискретный оптимальный линейно-квадратичный регулятор, минимизирующий непрерывный функционал (6.2). Обращение к процедуре:

[K,S,E]=lqrd(A,B,Q,R,N,Ts)

где Ts – заданный период дискретизации, приводит к расчету матрицы К статического звена (6.1) обратной связи по вектору состояния системы. При этом модель системы должна быть задана в конечно-разностной форме (1.8).

Проектирование оптимального линейного дискретного регулятора для дискретной системы с использованием дискретного функционала (1.9) можно осуществить, используя процедуру dlqr, например, таким образом:

[K,S,E]=dlqr(A,B,Q,R,N,Ts)

У равнения состояния системы должны быть предварительно приведены к конечно-разностной форме (6.8). Матрица S в этом случае представляет собой решение уравнения Риккати в виде:

(1.10)

Процедура kalman осуществляет расчет фильтра Калмана для непрерывных или дискретных систем автоматического управления. Обращение к процедуре имеет вид [KEST,L,P]=kalman(SYS,Qn,Rn,Nn), где SYS имя модели системы. Для непрерывной системы:

( уравнение состояния) (1.11)

( уравнение измерения) (1.12)

с известными входами u, шумовым процессом w, шумом измерения v и шумами ковариаций:

(1.13)

фильтр KEST имеет вход [u;y] и генерирует оптимальные оценки y_e и x_e соответственно величин y и x путем решения уравнений:

(1.14)

(1.15)

При этом LTI-модель SYS системы должна содержать данные в виде

(A,[B G],C,[D H]). Фильтр Калмана KEST является непрерывным, если SYS представлена как непрерывная система, и дискретным в противном случае. Процедура вычисляет также матрицу L коэффициентов усиления фильтра и матрицу Р ковариаций ошибок оценивания состояния. Для непрерывной системы и Н=0 матрица Р рассчитывается как решение уравнения Риккати:

(1.16)

Если система SYS задана конечно-разностными уравнениями:

X[n+1]=Ax[n]+Bu[n]+Gw[n] (уравнение состояния) (1.17)

Y[n]=Cx[n]+Du[n]+Hw[n]+v[n] (уравнение измерения) (1.18)

то обращение [KEST,L,P,M,Z]=kalman(SYS,Qn,Rn,Nn) позволяет спроектировать дискретный фильтр Калмана для заданной дискретной системы по методам ковариаций E{ww’}=Qn, E{vv’}=Rn, E{wv’}=Nn.

Фильтр Калмана в соответствии с разностными уравнениями:

x[n+1|n]=Ax[n|n-1]+Bu[n]+L(y[n]-Cx[n|n-1]-Du[n])

y[n|n]=Cx[n|n]+Du[n] (1.19)

x[n|n]=x[n|n-1]+M(y[n]-Cx[n|n-1]-Du[n])

генерирует оптимальные оценки y[n|n] выхода и x[n|n] – переменных состояния, используя значения u[n] входа системы и y[n] – измеренного выхода.

Помимо KEST программа выдает матрицы L оптимальных коэффициентов усиления фильтра и М обновителя, а также матрицы ковариации ошибок оценивания вектора состояния:

P=E{(x-x[n|n-1])(x-x[n|n-1])’} (решение уравнений Риккати)

Z=E{(x-x[n|n])(x-x[n|n])’} (апостериорная оценка)

Процедура [KEST,L,P,M,Z]=kalmd(SYS,Qn,Rn,Ts) создает дискретный фильтр (оцениватель) Калмана KEST для непрерывной системы, описываемой уравнениями (1.11) и (1.12) при Н=0 и таких параметрах шумов: E{w}=E{v}=0, E{ww’}=Qn, E{vv’}=Rn, E{wv’}=0. Кроме параметров оценивателя процедура вычисляет и выдает ранее описанные матрицы L, M, P и Z.

Задача построения (формирования) оптимального регулятора решается в MatLAB при помощи процедуры lqgreg. Если обратиться к процедуре RLQG=lqgreg(KEST,K), то в матрице RLQG создается регулятор, соединяя предварительно спроектированный фильтр Калмана KEST со статическим звеном оптимальной обратной связи по вектору состояния, спроектированным процедурами (D)LQR или LQRY. Регулятор RLQG, входом которого является выход у системы, генерирует команды u=-Kx_e (x_e является оценкой Калмана вектора состояния, основанной на измерениях y) и должен быть подсоединен к исходной системе как положительная обратная связь.

Предыдущие процедуры опираются на некоторые вспомогательные процедуры, которые, однако, имеют и самостоятельное значение и могут использоваться при синтезе САУ. К таким процедурам можно отнести:

estim Формирует оцениватель по заданной матрице коэффициентов передачи оценивателя по выходам и вектору состояния

care Находит решение непрерывных алгебраических уравнений Риккати

dare Находит решение дискретных алгебраических уравнений Риккати

lyap Находит решение непрерывных уравнений Ляпунова

dlyap Находит решение дискретных уравнений Ляпунова

Т ак, обращение EST=estim(SYS,L) формирует оцениватель EST по заданной матрице L для выходов и вектора состояния системы, заданной SS-моделью SYS, в предположении, что все входы системы SYS являются стохастическими, а все выходы – измеряемыми. Для непрерывной системы вида (6.7), где u – стохастические величины, создаваемый оцениватель:

y_e=Cx_e

генерирует оценки y_e и x_e соответственно выходов и вектора состояния. Подобным образом процедура применяется и для дискретных систем.

К процедуре care следует обращаться по такому образцу:

[X,L,G,RR]=care(A,B,Q,R,S,E). В этом случае она выдает решение Х алгебраического уравнения Риккати:

A’XE+E’XA-(E’XB+S)R^-1(B’XE+S’)+Q=0

что эквивалентно:

F’XE+E’XF^-1-E’XBR^-1B’XE+Q-SR^-1S’=0

где F:=A-BR^-1S’.

Если при обращении к процедуре пропущены входные параметры R, S и E, то по умолчанию им присваиваются такие значения R=I, S=0, E=I (I – единичная матрица). Кроме того, процедура вычисляет:

• Матрицу коэффициентов усиления G=R^-1(B’XE+S’);

• Вектор L собственных значений замкнутой системы (т.е. EIG(A-B*G,E));

• Норму RR Фробениуса матрицы относительных остатков.

Процедура [X,L,G,RR]=dare(A,B,Q,R,S,E) вычисляет решение уравнения Риккати для дискретного времени:

E’XE=A’XA-(A’XB+S)(B’XB+R)^-1(A’XB+S)’+Q

что эквивалентно (если R не вырождена):

E’XE=F’XF-F’XB(B’XB+R)^-1B’XF+Q-SR^-1S’

где F:=A-BR^-1S’

В этом случае G=(B’XB+R)^-1(B’XA+S’)

Рассмотрим теперь процедуру lyap. Обращение X=lyap(A,C) позволяет найти решение X матричного уравнения Ляпунова:

A*X+X*A’=-C

а обращение X=LYAP(A,B,C) – решение общей формы матричного уравнения Ляпунова (называемого также уравненикм Сильвестра):

A*X+X*B=-C

Аналогично процедура X=DLYAP(A,Q) находит решение дискретного уравнения Ляпунова:

A*X*A’-X+Q=0